第一章 离散时间信号与系统

1Topics采样离散时间信号离散时间系统离散信号的傅里叶变换（DTFT）离散信号的Z变换模拟信号的采样与恢复第一章离散时间信号与系统21-1采样()()()paxtxtpt=实际采样过程如左图示()pt为载波信号，是一串周期为T，脉宽为τ的矩形脉冲串。一、采样过程()pxt3理想抽样：脉冲序列p(t)变成了冲击函数串，称为理想抽样。其中()st()()nsttnTd¥=-?=-å4()()()()()()()saananxtxtstxttnTxnTtnTdd¥=-?¥=-?=??=-åå则其输出为5因为两边进行傅立叶变换得（频域卷积定理）()()()saxtxtst=[][]1()()()()()21[()()]21()saassamaskXjFxtstXjSjkXjXjjkTpdp¥=-?¥=-?W=?W*W=WW-W*W=W-Wåå二、采样信号的频谱6即1()()saskXjXjjkT¥=-?W=W-Wå结论：理想采样信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样频率)。图1.2采样过程频谱示意图7三、采样定理如果信号为带限信号，即()aXt()sXjW=0h()aXjWhWW当采样满足时，信号的频谱不会重叠，如上图所示。2hs折叠频率8如果，将会出现频谱混叠，图1.3示。奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，即。工程中常取。2hsWW图1.3频谱混叠示意图2shWW(35)shWW91、频域的角度----低通滤波如果采样满足奈奎斯特定理，则有1()()saskXjXjjkT¥=-?W=W-Wå四、采样信号的恢复在低频带限内有1()()2sasXjXjT采样信号的频谱输入信号的频谱10若将采样信号通过一理想低通滤波器，即图1.4理想低通滤波器特性结合图1.2可知，通过滤波器后，就可滤出原信2()02ssTHj，，ìWWïïW=íïW砏ïî()HjWT02s-W2sWW11号的基带频谱：也就恢复了模拟信号：其恢复过程可用框图1.5示。()()()saYjXjHjXj()()aytxt()ht()HjW()sxt()sXj()()aytxt()aYjXj图1.5采样的恢复122、时域的角度----信号的内插采样信号通过理想低通滤波器的响应过程：1）低通滤波器的冲激响应()()()sytxtht()sXj()Hj/2/21()()2sin(/2)2/2ssjtjtsshtHjedtTedtpp¥W-?WW-W==W=Wòò132）理想低通滤波器(filter)的输出sin(/)2sin()()(/)sTtctTtTT其中，pppp==W=()()()()()()()()()smssmxmytxhtdThtdxmTmThdmTtdttttttdttt¥¥-?¥-?¥¥-?=-?=-?轾犏-犏臌=-=-=--åòòåò14称为内插函数；称为内插公式；()()()()sin[]amamxmThtmTxmTctmTTp¥=-?¥=-?=?=-ååsin[()]ctmTTp-()()()sin[]smytxmTctmTTp¥=-?=-å153）内插函数的特性：在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0，这保证了各抽样点上信号值不变。内插函数波形图1.6内插函数164）内插公式的说明图1.7采样的内插恢复T2T3T(3)aStTTp轾犏-犏臌()aStTTp轾犏-犏臌()axt(2)aStTTp轾犏-犏臌连续模拟信号17在抽样点上，信号值不变；抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。181-2离散时间信号一、离散时间信号及其时域表示1、离散时间信号又称为序列，即，表示在时刻的采样值，也就是第n个离散时间点的值。★公式法nT()xn()xnT0.02()cos(0.5)nxnen-=2、离散时间信号的表示方法19★集合法★图示法图1-1序列的图示法★单位采样序列的移位加权和表示{}{}(),1.63,2.78,2.46,4.52,7.49,xn=--20式中，二、常用典型序列1、单位脉冲序列()()()mxnxmnmd¥=-?=-å()nmd-=1,nm=0,nm¹1,0()0,0nnndì=ïï=íï¹ïî图1-2单位脉冲序列21思考：如何用Matlab实现。2、单位阶跃序列1,()0,nmnmnmdì=ïï-=íï¹ïî()nd1,0()0,0nunnì³ïï=íïïî图1-3单位脉冲序列的移位图1-4单位阶跃序列22与的关系3、矩形序列()un()nd0()()()(1)()()()(1)(2)mnununununnmnnnddddd¥==?--=-=+-+-+å101()0NnNRnn其他ì＃-ïï=íïïî的后向差分()un图1-5矩形序列23与的关系4、实指数序列()NRn()un()()()NRnununN=--()()nxnauna，为实数。=1,1,aa当时收敛当时发散图1-6实指数序列245、正弦序列()sin()xnnw=数字角频率如果正弦序列是由模拟信号采样得到的，那么()axt()sin()()sin()()sin()aatnTxttxtnTxnnw==W=W=sTfww=WW=模拟角频率25下图即为采样示意图图1-7正弦序列的采样示意图266、复指数序列0()()jnxnesw+=0w式中为数字角频率将复指数表示成实部与虚部00()cossinnnxnenjenssww=+其示意图如下：图1-8复指数序列27三、序列的周期性1、定义:对所有存在一个最小的正整数，使得下面等式成立：则称为周期序列，周期为。()()xnxnN=+nN()xnN图1-9周期序列示意图282、正弦序列的周期性若，则按周期序列的定义，该正弦序列为周期序列。0()sin()xnAnwf=+[][]0000()sin()sin2xnNANnANnNkk若，为整数，则wfwwfwp+=++=++=()()xnxnN=+29要求周期满足需分三种情况讨论。02kNpw=02Nkpw=1、当为整数时，k＝1，正弦序列是周期序列，且N＝。02pw2、是一个有理数，设(P、Q互为素数)取k＝Q，那么N＝P,正弦序列是周期序列，且N＝P。3、是无理数，正弦序列不是周期序列。pw02pw02pw0202PQpw=30例1-1、判断下列序列是否是周期的？若是，确定其周期。解（1）是有理数，因此是周期序列，取3(1)()cos(),78;xnAnA1j(n-)8是常数；(2)x(n)=eppp=-003214,73PQppww===314kQN＝，则周期。31（2）是无理数，则是非周期序列。四、序列的基本运算序列的基本运算包括：移位、加减、相乘、乘常数、翻褶、卷积；1移位序列的移位也可称为序列延时，即序列整体在时间轴上移动。0012,168PQpwpw===0000()()0nynxnnn左移，右移。ìïï=-íïïî32如当时，如图1-10示。2序列的加减序列的加减指将两序列序号相同的数值相加减，即03n＝图1-10移位示意图12()()()ynxnxn=?33例1-2求。解：3序列的乘积序列的乘积是指同序号的序列值对应相乘。即()()()znxnyn=+(0)(0)(0)(1)(1)(1)(2)(2)(2)zxyzxyzxy=+=+=+()()()znxnyn=?34例1-3求。解：4序列乘常数序列乘以常数指将序列的每一个值都乘以常数，即对信号进行调整：()()()znxnyn=?(0)(0)(0)(1)(1)(1)(2)(2)(2)zxyzxyzxy=?=?=?()()ynaxn=?1:1:aa实数放大；衰减；355序列的翻褶序列的反褶指将序列以n=0的纵轴为对称轴进行对褶。即如图1-11示。()()ynxn=-图1-11序列翻褶示意图36例1-412121221311213020()(),000053(1)()()(2)()(5)()()()nnnnxnxnnnaaynxnynxnynaxnayn，，，求：(3)-祆镲?镲==眄镲?镲铑===-=-=+12201()()00nnynxnn解：（）-ìïï=-=íï£ïî376、序列的累加设某序列为x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为(5)2135(2)()(5)05nnynxnn--ìï³ï=-=íïïî311213()()()15053320nnynaxnaynnn（）--=+ì=ïï=íï??ïî387、序列的卷积设序列、,它们的卷积和定义为()xn()()nkynxk=-?=å()hn()yn()()()()()()()mmynxmhnmhmxnmxnhn¥=-?¥=-?=-=-=*åå39卷积和的运算在图形上可分为四步：折迭(翻褶),移位,相乘,相加。例1-5求：1()13()20102()0nnxnnnhnn，，其他，，其他31()()()()()mynxnhnxmhnm40解：①翻褶:先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)，以m=0为对称轴，折迭h(m)得到h(-m)，对应序号相乘，相加得y(0)；②h(-m)位移1个单元，对应序号相乘，相加得y(1)；③重复步骤②，得y(2),y(3),y(4),y(5),如下图所示。41在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)：以m=0为对称轴，折迭h(m)得到h(-m)：42对应相乘，逐个相加，得y(0)、y(1)…y(5)01231/213/2mx(m)0mh(-m)=h(0-m)-2-1翻褶101231/213/2mx(m)0mh(1-m)-11143(0)011(1)12213(2)1112213(3)1111322135(4)01110122233(5)122yyyyyy44卷积结果如下：-1012345Y(n)n1/23/235/23/245卷积的性质：☆分配律()()()()hnxnxnhn*=*[]1212()()()()()()()xnhnhnxnhnxnhn*+=*+*☆交换律()xn⊕1()hn2()hn()yn12()()hnhn+()xn()yn46☆结合律[][][]12122121()()()()()()()()()()()()()()xnhnhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnxnhn**=**=**=**=*1()hn2()hn()xn()yn1()hn2()hn()xn()yn()xn()yn12()()hnhn*47五、任意序列的单位脉冲序列表示任意序列都可用单位脉冲序列表示成加权和的形式，即式中()xn()nd()()()mxnxmnmd¥=-?=-å()nmd-=1,nm=0,nm¹单位采样序列和加权移位48若则1010()0nanxnìï-＃ï=íïïî其他1010()()mmxnanmd=-=-å491-3离散时间系统系统实际上表示对输入信号的一种运算，离散时间系统就表示对输入序列的运算，用表示这种运算关系，如图1-12示。即[]T()xn()yn图1-12离散时间系统模型[]()()ynTxn=[]T50一、线性系统（满足迭加原理的系统）二、时不变（移不变）系统如果，则为任意整数。[][][]121212()()()()()()TaxnbxnaTxnbTxnaynbynab＝式中、为任意常数。+=++[]()()Txnyn=[]00()()Txnnynn-=-0n51例1-6证明以下系统为线性时不变系统。证明：线性性设有序列和及常数和，则有()[()]()nmynTxnxm=-?==å1()xn2()xn1a2a11221122[()()][()()]nmTaxnaxnaxmaxm=-?+=+å52时不变特性由于在上式中令，则上式右边变为11221122()()[()][()]nnmmaxmaxmaTxna