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第三章连续时间信号与系统的频域分析傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱信号的功率谱和能量谱周期信号激励下的稳态响应非周期信号激励下的零状态响应理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应信号的调制与解调频分复用和时分复用信号无失真传输的条件周期信号可分解为110sincos2)(nnnntnbtnaatf22,2,1,0cos)(2TTndttntfTannnaa是n的偶函数因此，周期信号可以分解为各次谐波之和。§1傅里叶级数傅里叶级数的三角函数形式：22,2,1sin)(2TTndttntfTbnnnbb是n的奇函数1000)cos(2)(nnnaAtnAAtf或22nnnbaA是n的偶函数；是n的奇函数nnnabarctg傅里叶级数的指数形式2cosjxjxeextjnjnntjnjnntnjtnjnneeAeeAAeeAAtfnnnn110)()(1021212][22)(nnAAnn偶函数；奇函数tjnjnntjnjnntjnjnneeAeeAeeAAtfnnn2121212)(110nntjnnntjnnnAFeFeAtf2121)(称为复傅里叶系数。njnneAA令：表明任意周期信号可以表示成的线性组合，加权因子为。tjnenF10)cos(2)(nnntnAAtf傅里叶系数间的关系傅里叶系数：22,2,1sin)(2TTndttntfTbn22,2,1,0cos)(2TTndttntfTan复傅里叶系数。22nnnbaAnnnabarctgnanbnAn)(21)sincos(212121nnnnnnjnnnjbajAAeAAFn2222sin)(1cos)(1TTTTdttntfTjdttntfT2222,2,1,0)(1]sin)[cos(1TTTTndtetfTdttnjtntfTtjn周期信号的对称性与傅里叶系数的关系纵轴对称（偶函数）原点对称（奇函数）半周镜象对称（奇谐函数）只含常数和余弦项。20cos)(4,0TdttntfTabnn20sin)(4,0TdttntfTbann)()2(tfTtf)()(tftftntfcos)(tntfsin)(为偶函数；为奇函数；)()(tftftntfcos)(为奇函数；tntfsin)(为偶函数；只含正弦项。无偶次谐波，只有奇次谐波。)(tfT2Tt周期信号的对称性与傅里叶系数的关系半周重迭（偶谐函数）)()2(tfTtf)(tfT2Tt无奇次谐波，只有直流(常数)和偶次谐波。根据周期信号的对称性与傅里叶系数的关系，可使求解傅里叶系数的计算量大大减少；也可以确定信号所含的频率分量的类别；对绘波形图也有作用。周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。(A)余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。例1偶函数：只含余弦项；半周重叠：只含偶次谐波和直流C)(tfT2Tt01例2周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。(A)余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。)(tfT2Tt011-奇函数：只含正弦项；半周镜象对称：只含奇次谐波B例3已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；04Tt)(tf解：波形纵轴对称；半周重叠。04Tt)(tf2TT4T§2周期信号的频谱若周期信号为f(t)，周期为T，其指数形式为称为f(t)的频谱;显然，在处有意义，即不连续，故称为离散频谱。nFn22)(1)(TTdtetfTFeFtftjnntjnnnnF,2,1,0sinsin2112222222nTnTjneTdteTFnnntjntjnn令称为抽样函数，为偶函数。当时，xxxSasin)(0x1)0(Sa频谱为：,2,1,0)2(nnSaTFn)(2Sa为包络线，m2m2即处为零。)(tfT2t20T1其中：为基波频率，在有值，称为谱线；T2nnF周期矩形脉冲的频谱周期T不变，脉冲宽度变化①)(tfT2t20T1nF2041)4(41)(,4nSaTnSaTFTn，第一个过零点为n=4。情况1：第一个过零点：0)(2Sa242谱线间隔T2在有值，称为谱线；nnF周期T不变，脉冲宽度变化②)(tfT2t20T1)8(81)(,8nSaTnSaTFTn，第一个过零点为n=8。情况2：nF2081第一个过零点增加一倍谱线间隔不变T2脉冲宽度缩小一倍幅值减小一倍周期T不变，脉冲宽度变化③)(tfT2t20T1)16(161)(,16nSaTnSaTFTn，第一个过零点为n=16。情况3：第一个过零点再增加一倍谱线间隔不变T2脉冲宽度再缩小一倍幅值再减小一倍nF16120结论由大变小，Fn的第一个过零点频率增大，即，称为信号的带宽，确定了带宽。由大变小，频谱的幅度变小。由于T不变，谱线间隔不变，即不变。T21f2脉冲宽度不变,周期T变化①第一个过零点谱线间隔22T，第一个过零点。情况1：4T22T2时，谱线间隔)(tfT2t20T1nF4120幅值:41)0(0SaTF脉冲宽度不变,周期T变化②，第一个过零点。情况2：8T42T2时，谱线间隔nF4120)(tfT2t20T1)(tfT2t20T1nF8120谱线间隔减小一倍第一个过零点不变幅值减小一倍周期T扩展一倍脉冲宽度不变,周期T变化③，第一个过零点。情况3：16T82T2时，谱线间隔)(tf2t201nF8120周期T再扩展一倍TTTTnF16120谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍第一个过零点不变结论不变，Fn的第一个过零点频率不变，即，带宽不变。T由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。T时，谱线间隔0，这时：周期信号非周期信号；离散频谱连续频谱1f2周期信号频谱的特点离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。谐波性：频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。收敛性：各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。离散频谱与连续频谱当周期Ｔ增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当T时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。周期信号频谱的性质时移特性：若，则nFtf)(jnneFtf)(证：设nFtf)(jnnxjnjnxjntjnneFdxexfeTdxexfTdtetfTF)(1)(1)(1)(微分特性：ntjnnntjnnntjnnejnFeFdtdeFdtdtf)(nFjntf)()(nkkFjntf)()()(即有以此类推nkkFjntf)()()(若，则nFtf)(ntjnneFtf)(证：，则对称特性：若，则nFtf)(nFtf)(§3非周期信号的频谱dtetfTFjFtjnT)(lim)(dejFtftj)(21)(傅里叶变换傅里叶反变换简记：F(j)=F[f(t)]称频谱函数；或记为：)()(jFtf对非周期信号，其频谱就是信号的傅里叶变换f(t)=[F(j)]称为原函数。1F傅里叶变换的解释tjnntjejnFdejFtf)(21lim)(21)(0tje2)(djFdejFtftj)(21)(tjejH)(任意信号f(t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号，它包括了一切频率，且各分量的幅值无穷小。这样系统的输入和输出的关系为：2)(djFtje线性非时变系统(零状态)2)(djFdejYtytj)(21)()()()(jFjHjY输出频谱；输出原函数。以上就是傅里叶分析的基本思想。dejHjFtytj)()(21)(几个基本函数的傅里叶变换【例1】冲激函数【例2】门函数1)()(dtetjFtj0)(1)(0tjettt)2()(22SadtejFtj)(jF02)(jF01)(tt0)1()(tG2t201几个基本函数的傅里叶变换【例3】单边指数函数【例4】符号函数)(tett01)(jF0101)(0jdteejFtjt)sgn(t01t01t)sgn(tt011)(jF0)()()(jXRjFtdttfRcos)()(tdttfXsin)()(为奇函数，)sgn()(ttfttfcos)(0)(R为奇函数，ttfsin)(02sin2)(tdtX为偶函数，jjjF22)(故dttjttfdtetfjFtj]sin[cos)()()(2200)(00]1Im[1Im[]Im[]Im[sinjeejdtedteetdtetjttjtjtt1limsinlimsin220000tdtetdtt求傅里叶变换的思路四个基本信号的傅里叶变换二十一个常用信号的傅里叶变换所有信号的傅里叶变换利用傅里叶变换的性质利用已知信号推广求信号的傅里叶变换是一个难点,也是进入变换域分析的第一个积分变换!§4傅里叶变换的性质线性特性：时移特性：频移特性：)()()()(22112211jFajFatfatfa)()(00jFettftj表明信号延时了t0秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了-t0)]([)(00jFetftj表明信号f(t)乘以，等效于其频谱F(j)沿频率右移0tje0)]}([)]([{21cos)(000jFjFttf)]}([)]([{2sin)(000jFjFjttf)(21cos000tjtjeet)(21sin000tjtjeejt因为：频谱搬移技术在通信系统中得到广泛应用，如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。§4傅里叶变换的性质尺度变换特性：对称特性：)(1)(ajFatafa为非零的实常数。可见，信号在时域中压缩(a1)等效