八年级数学上册第12章全等三角形专题强化三巧添辅助线构造全等三角形课件新版新人教版

第十二章全等三角形专题强化三巧添辅助线构造全等三角形2018秋季数学八年级上册•R强化角度1连接线段法1．如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC，试说明：∠A＝∠C.证明：连接OE.在△EAO与△ECO中，OA＝OC已知EA＝EC已知OE＝OE公共边，∴△EAO≌△ECO(SSS)，∴∠A＝∠C(全等三角形对应角相等)．强化角度2翻折法2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.证明：延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∠ABD＝∠FBDBD＝DB∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.强化角度3旋转法3．如图，在五边形ABEFD中，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．解：延长EB到点H，使得BH＝DF.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，AB＝AD∠ABH＝∠ADF＝90°BH＝DF，∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∠HAF＝∠BAD＝90°，∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AHE和△AEF中，AH＝AFAE＝AEEH＝EF，∴△AHE≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝12∠HAF＝45°.强化角度4平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.∴OD＝OQ，AD＝AQ.又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°，∴∠BOP＝∠APB，∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.强化角度5倍长中线法5．如图，AD是Rt△ABC的中线，∠BAC＝90°，求证：BC＝2AD.证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE.∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD.在△ADC与△EDB中，AD＝DE∠ADC＝∠EDBCD＝BD，∴△ADC≌△EDB.∴AC＝BE，∠CAD＝∠E.∴AC∥BE.∴∠BAC＋∠ABE＝180°.∵∠BAC＝90°，∴∠ABE＝90°.在△ABC与△BAE中，AB＝AB∠BAC＝∠ABEAC＝BE，∴△ABC≌△BAE，BC＝AE＝2AD.强化角度6作角的某边的垂线6．如图所示，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.(1)若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；(2)求证：点P在∠HAC的平分线上．解：(1)过点P作PF⊥BE于点F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于点H，PF⊥BE于点F，∴PH＝PF＝5cm，∴点P到直线BC的距离为5cm；(2)证明：连接AP，∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于点D，PF⊥BE于点F，∴PF＝PD，∴PD＝PH，∴AP平分∠HAC，∴点P在∠HAC的角平分线上．强化角度7作延长线和垂线7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.证明：过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∠1＝∠2AC＝CB∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(ASA)，∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，BD＝BG∠DBF＝∠GBFBF＝BF，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G，∴∠ADC＝∠BDF.强化角度8截长取短法8．如图，AB∥CD，CE、BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.证明：在BC上取一点F，使BF＝BA，连接EF.在△ABE和△FBE中，BA＝BF∠1＝∠2BE＝BE，∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.在△EFC和△EDC中，∠6＝∠D∠3＝∠4CE＝CE，∴△EFC≌△EDC(AAS)，∴FC＝DC.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.