第二章时域离散时间信号与系统

2.1.1信号的采样与采样定理1.采样的定义：就是利用周期性抽样脉冲序列pT(t),从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离散时间信号。抽样是模拟信号数字化的第一环节，再经幅度量化、编码后即得到数字信号x(n)。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件2、采样过程1.取样器•可以看成是一个电子开关。•开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭合时间应无穷短，对实际抽样，闭合时间是秒，但T）使输入信号得以抽样，得到连续信号的抽样输出信号。TM(t))(txa)(ˆtxa如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为τ的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以PT(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为一般很小,越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。)()()(tPtxtxTap()axttttˆ()axt()()Tptt10T理想抽样00()axttttˆ()axt()pt10T非理想采样00T实际抽样与理想抽样tPtxtxtxtxTaaaa实际抽样：ttxtTaax0理想抽样：当实际抽样与理想抽样理想采样manaTaannTtnTxnTttxttxtxnTtt)()()()()()()(ˆT理想抽样输出：冲激函数：112ˆ()ˆ()()()1ˆ()()()()221()1(()()2)aaaaaaaskaskaskxtXjXjPjXjkTXjkxtptXjXTXjjPdjkT，对此式两边进行傅立叶变换，得：，将带入并计算卷积1()askXjjkT()()nPttnT对式两边进行傅立叶变换2()()skPjkT得：结论：采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期，进行周期延拓形成的。可见，该频谱为周期性信号，其周期为,2sT.,)()(ˆ,,0种情况称作周期延拓这为间隔而重复频谱以是的频谱所以为时saaajXjXTjXk1ˆ()()aaskXjXjjkThs2hS2:混叠现象所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样角频率),幅度原来的1/T。奈奎斯特取样定理由上图可知，用一截止频率为的低通滤器对滤波可以得因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即。这就是奈奎斯特采样定理。最小采样频率称为奈奎斯特采样频率。)(ˆjXa).(jXahs2hS2:混叠现象s2s0)(jXa2ss1.抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成2.频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍3.抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即，才能保证无混叠。结论Ωh为最高频率分量)(jXah)(ˆjXas2s0shs2表一些典型的数字信号处理系统应用系统上限频率maxf采样频率sf地质勘探500Hz1-2kHz生物医学1kHz２-４kHz机械振动２kHz4-10kHz语音４kHz8-16kHz音乐２０kHz40-96kHz视频４MHz8-10MHz2.1.2信号的恢复先决条件取样过程中不存在混叠失真00()aXjccˆ()aXjssdb0()GjTcT()Gjˆ()axtˆ()aytaT设计一个低通滤波器，其频率特性为2()02ssTGj()()1(ˆ()())aaaaYjHjTXjTXjXj就可得到原信号的频谱：在作傅立叶反变换可得到原信号1()[()]()aaaytFYjxt取样内差公式(时域滤波进行分析)讨论采样信号通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。理想低通G（j）的冲激响应为频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为这里，g(t-nT)称为内插函数特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。deTdejGtgsstjtj222)(21)(tTtTttsssin22sin)(ˆtxadtgnTxdtgxtynaa)()()()()(ˆ)(nnaanTtgnTxdnTtgx)()()()()()()(sin)(nTtTnTtTnTtg内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样值xa（nT）来表示，它等于xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如右下图所示。在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。内插公式的意义:证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。T2T3Tt0()axt()agtT(2)agtT(3)agtT000()sin()sin(2)2()sin()0()sin()(0)(1)023sscscxtAtAftffxnAnxnAnxxffff取时，当时，，，无法显示正弦信号的周期变化；所以，对正弦信号采样，须满足，即补充：正弦信号的抽样2.2.1序列及其表示序列定义：离散时间信号又称作序列，序列是时间上不连续的一串样本值的集合，记为{x(n)}。注：通常用x(n)表示序列。x(n)只在n为整数时才有意义。x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中)()(),()(nTxnxnTxtxaanTta2.2.2常用的典型序列1.单位取样序列(离散冲激)0,00,1)(nnnmnmnmn,0,1)(nδ(n)112-1-20nδ(n-m)112-1-20m注意和δ(t)的区别？2.单位阶跃序列u(n)0)2()1()()()()1()()()(mnnnmnnunununun：与单位脉冲序列的关系0,00,1)(nnnu注意和u(t)的区别？3.矩形序列nNnnRN其他,010,1)(10)1()1()()()()()()(NmNNNnnnmnnRNnununR与其它序列的关系：4.实指数序列当n0，x(n)＝0时，上式可表示为0a1a1-1a0a-1a为实数，当发散时收敛时,1,1aa0a1-1a0a1a-15.正弦型序列式中，A为幅度，ω0为数字域频率，单位为弧度。它表示序列变化的速率，或表示两个相邻序列值之间变化的弧度。考虑数字正弦序列是由模拟信号采样得到，即()()sin()(2)atnTxnxtAnT()sin()(1)xnAn()sinaxtAt数字域频率和模拟信号频率的对应关系(1.2.9)sTf比较(1)、(2)两式得ω0=π/8T=1/166.复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。当σ＝0时，上式可表示成还可写成()()jnxne()[cos()sin()]nxnenjn()cos()sin()jnxnenjn补充Matlab程序n0=0;nf=10;ns=3;n1=n0:nf;x1=[(n1-ns)==0];%单位脉冲序列n2=n0:nf;x2=[(n2-ns)=0];%单位阶跃序列n3=n0:nf;x3=(0.75).^n3;%实指数序列n4=n0:nf;x4=exp((-0.4+pi/3j)*n4);%复指数序列subplot(2,2,1),stem(n1,x1);subplot(2,2,2),stem(n2,x2);subplot(2,2,3),stem(n3,x3);figuresubplot(2,2,1),stem(n4,real(x4));%注意subplot的变化subplot(2,2,2),stem(n4,imag(x4));Subplot(2,2,3),stem(n4,angle(x4));subplot(2,2,4),stem(n4,abs(x4));如果对所有的n存在一个最小的正整数N使下面等式成立，则称x(n)为周期性序列周期为N,n-][][，nNxnx不是周期序列。为无理数时）当周期则为有理数时）当周期为整数时，）当讨论：是最小的正整数。的取值保证即＝的周期序列，则要求为周期为即要使＋期性：讨论一般正弦序列的周)(,23,,2,222,121N,2N,2N)(),()N()sin()(sin)N(sin)(00000000000nxpNQkQpNkkkkNnxnxnxNnANnAnxnAnx02sin()8448nN0如，，该序列是周期为的周期序列04425sin()5525n0如，，，该序列是周期为的周期序列0112sin()844n0如，，该序列不是周期序列讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？0()sin()xtAt00()()sin()sin()tnTxnxtAnTAn0000021/2/fTf000022TTfTT002TT设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列令：0NTkT0TNTk3()sin(2)14xnn00032142143NTkT0143()14TTxn当时，为周期为的周期序列例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期nnxS2)(序列的能量为序列各抽样值的平方和x(n)可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，也可表示成与单位脉冲序列的卷积和。()()()()()mxnxmnmxnn)3(5.0)2(-1(5.1)()1(2)(nnnnnnx）例：2.2.3序列的运算1.序列相加两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。)()()(21nxnxnx2.序列相乘是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。12()()()xnxnxn3.序列的标乘)()(nynAxxA序列的相加和相乘：x1=[012343210];ns1=-2;x2=[22000-2-2];ns2=2;nf1=ns1+length(x1)-1;nf2=ns2+length(x2)-1;ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2);xa1=zeros(1,length(ny));xa2=xa1;xa1(find((ny=ns1)&(ny=nf1)==1))=x1;xa2(find((ny=ns2)&(ny=nf2)==1))=x2;ya=xa1+xa