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三、幂级数的性质0nnnxb1加减法00nnnnnnxbxa0)(nnnnxba0nnnxa设f(x)=和g(x)=的收敛半径分别各为R10和R20,则=f(x)g(x).的收敛半径Rmin{R1,R2}.0nnnxa2设幂级数的收敛半径R0,则在收敛区间(R,R)内,其和函数S(x)是连续函数.0nnnxa若级数在端点收敛,则S(x)在端点单侧连续.1nnxna0nxnnndtta00)()(0nnnxa0nnnxa3幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可导,并可以逐项求导任意次,且求导后级数的收敛半径不变.即f(x)=x(R,R)0nnnxa4幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可积,并可逐项求积分,且积分后级数的收敛半径不变.xdttS0)(dttaxnn0.110nnnxnax(R,R)即n=10n(anxn)注:常用已知和函数的幂级数;110xxnn;11)1(202xxnnn2111)1(1)(xxnxnnnn31111)1(2)()1(xxxnnnnnn;11)(0xxnn(1)(1x1)(2)(3)(4)(5)4二、麦克劳林(Maclaurin)公式三、泰勒级数一、泰勒公式的建立§7.6泰勒(Taylor)公式与泰勒级数一次多项式在微分的应用中有近似计算公式:若f(x0)存在,则在x0点附近有f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0)需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足:1.精确度不高;2.误差不能定量的估计.希望:在x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)nf(x)一、泰勒公式猜想2若有相同的切线3若弯曲方向相同近似程度越来越好n次多项式系数的确定1若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)y=f(x)假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0!)(0)(nxfann即有Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!anPn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+···+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+···+n(n1)an(xx0)n2a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,···,n令x=x0得a1=f(x0),!2)(02xfaa0=f(x0),a1=f(x0),!)(0)(kxfakk!2)(0xf!)(0)(nxfnk=0,1,2,3,···,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+···+(xx0)nPn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+···+an(xx0)n称为函数f(x)在x0处的泰勒多项式.k=0,1,2,3,···,n称为泰勒系数!)(0)(kxfakkf(x)=Pn(x)+o(xx0)n.200)(!2)(xxxf10)1()()!1()()(nnnxxnfxRnnxxnxf)(!)(00)( 其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数!)(0)(kxfakkk=0,1,2,···,n是唯一的.10)()!1(nxxnnnxxnxf)(!)(00)(200)(!2)(xxxf设f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+k证由于f(x)在UR(x0)内具有n+1阶连续导数,作辅助函数(t)=f(x)[f(t)+f(t)(xt)+2)(!2)(txtf])()!1()(!)(1)(nnntxnktxntf(x)=0=(x0),不妨设x0x,则(t)在[x0,x]连续,在(x0,x)可导,罗尔定理知,至少存在一点(x0,x),使()=0,因(t)=f(t)2)(!2)(txtf1)()()!1()(!)(nnntxnktxntf(t)=f(x)f(t)f(t)(xt)[f(t)(xt)f(t)])])(()(!2)([2txtftxtf])()!1()()(!)([1)()1(nnnntxntftxntfntxnk)(!)]([!)()1(tfkntxnn所以,0)]([!)()1(nnfknx(x0,x),故解得k=f(n+1)(),x0x时同理可证,10)1()()!1()()(nnnxxnfxRnnxnfxf!)0(!2)0()(2 1)1()!1()()(nnnxnfxR其中f(x)=f(0)+f(0)x+1当x0=0时,(在0与x之间)或令=x,01,则+Rn(x). 1)1()!1()()(nnnxnxfxR称为函数f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)( 2f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+其误差为:Rn(x)解)(!0xRkxnnkk1)!1()(nxnxnexR例1*求f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式.因为f(n)(x)=ex,n=1,2,3,所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,于是f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式为:)(!1!2112xRxnxxennx其中01.定义如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.200)(!2)(xxxf=f(x0)+f(x0)(xx0)nnxxnxf)(!)(00)( 二、泰勒级数000)()(!)(nnnxxnxf 称为函数f(x)的麦克劳林级数.nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(20)(!)0(nnnxnf 问题:泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn2例2*求f(x)=sinx在x=0的泰勒级数.当n=2k时,f(2k)(0)=sin(k)=0,k=0,1,2,,当n=2k+1时,f(2k+1)(0)=sin(k+)=(1)k,得因)!12(||)!32(||lim|)()(|lim12321nxnxxuxunnnnnn=0,于是R=+,0)(!)0(nnnxnf 012)!12()1(kkkkx)22)(32(lim2nnxn012)!12()1(nnnnx定理2f(x)在x0点的泰勒级数在UR(x0)内收敛于f(x)在UR(x0)内,Rn(x)0.)!12()1(!51!311253nxxxxnn|)!32()(|lim|)(|lim32)32(nnnnnxnfxR)!32(||lim32nxnn=0,所以sinx=00)(limxRnn0)(!)0(nnnxnf 012)!12()1(nnnnx012)!12()1(nnnnx其中收敛区间为:(,+).x(,+).|)!32(sin|lim32)32(nnnxn即xyO麦克劳林多项式逼近sinx!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxy!9!7!5!39753xxxxxy)!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnny=sinxy=x§7.7初等函数的幂级数展开式一、直接法(泰勒级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式步骤:0)(limxRnn(1)求f(n)(x),n=0,1,2,(4)讨论?并求出其收敛区间.(3)写出幂级数利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数nnnxxnxf)(!)(010)(若为0,则幂级数在此收敛区间内等于函数f(x);若不为0,则幂级数虽然收敛,但它的和不是f(x).一、直接法(泰勒级数法)(2)计算an=f(n)(x0),n=0,1,2,解0!nnnx1)!1(nxxne例1将f(x)=ex在展开成x的幂级数.因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,,f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0的麦克劳林级数为:nxnxx!1!2112其中 1)1()!1()()(nnnxnxfxR01 |)!1(|lim|)(|lim1nxnnnxnexR)!1(||lim1nxennx=0,所以ex=1+x+0!nnnxx+.nxnx!1!2120)(limxRnn收敛区间为:(,+)nnkknnnnnbnabbakknnnbannbnaaba1221!)1()1(!2)1()( 二项展开式++nxn1+xn(1+x)n=1+nx+kxnknnnxnn!)1()1(!2)1(2(1+x)=1+x+nxnnx!)1()1(!2)1(2?解||lim1nnnaaR例2将f(x)=(1+x)展开成x的幂级数.n=0,1,2,,f(n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,0)(!)0(nnnxnf 得[(1+x)](n)=(1)(2)(n+1)(1+x)(n),0!)1()1(nnxnn|1|limnnn注意:当x=1时,级数的收敛性与的取值有关.1,收敛区间为:(1,1).10,收敛区间为:(1,1].0,收敛区间为:[1,1].所以(1+x)的泰勒级数的收敛区间是(1,1),x(1,1)(1+x)=1+x+nxnnx!)1()1(!2)1(20!)1()1(nnxnn牛顿二项式展开式x11当=1时,x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.
本文标题:泰勒公式和泰勒级数
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