第五章 时间序列 2

5-1§5.3长期趋势分析一.时间序列的构成要素与模型二.线性趋势三.非线性趋势四.趋势线的选择5-2时间序列的构成要素与模型（构成要素与测定方法）线性趋势时间序列的构成要素循环波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线5-3一、时间序列的构成要素与模型（要点）1.构成因素长期趋势(Seculartrend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律季节变动(SeasonalFluctuation)也称季节性(seasonality)时间序列在一年内重复出现的周期性波动循环波动(CyclicalMovement)也称周期性(cyclity)围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动不规则波动(IrregularVariations)也称随机性(random)除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动5-42.模型时间序列的构成要素分为四种，即长期趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii5-5长期趋势（概念要点）1.现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态2.由影响时间序列的基本因素作用形成3.时间序列的主要构成要素4.有线性趋势和非线性趋势5-6二、线性趋势1.现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律2.测定方法有移动平均法线性模型法5-71.移动平均法(MovingAverageMethod)1.测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势2.移动步长为K(1Kn)的移动平均序列为KYYYYiKiii115-8移动平均法(实例)表5-61981～1998年我国汽车产量数据年份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽车产量数据如表5-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，并作图与原序列比较5-9年份时间标号产量(万量)三项移动平均五项移动平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------5-10移动平均法(趋势图)05010015020019811985198919931997产量五项移动平均趋势值汽车产量（万辆）图5-1汽车产量移动平均趋势图（年份）5-11移动平均法(应注意的问题)1.移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“中心化”2.移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均5-122.线性模型法（概念要点与基本形式）1.现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示2.线性模型的形式为btaYtˆ—时间序列的趋势值t—时间标号a—趋势线在Y轴上的截距b—趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时观察值的平均变动数量tYˆ5-13线性模型法（a和b的最小二乘估计）1.趋势方程中的两个未知常数a和b按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线2.根据趋势线计算出各个时期的趋势值5-14线性模型法（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得到求解a和b的标准方程为2.取时间序列的中间时期为原点时有t=0，上式可化简为2tbtatYtbnaY解得：tbYattnYttYnb222tbtYnaY解得：2ttYbYa5-15返回线性模型法(实例及计算过程)表5-6汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】利用表5-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较5-16线性模型法（计算结果）根据上表得a和b结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为4995.9181715004.91858.14535004.917121091858.145317196.18411182ab5-17线性模型法(趋势图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值图5-2汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）5-18三、非线性趋势5-191.现象的发展趋势为抛物线形态2.一般形式为（一）二次曲线(SecondDegreeCurve)a、b、c为未知常数根据最小二乘法求得2ˆctbtaYt5-20二次曲线(SecondDegreeCurve)2.取时间序列的中间时期为原点时有4322322tctbtaYttctbtatYtctbnaY42222tctaYttbtYtcnaY1.根据最小二乘法得到求解a、b、c的标准方程为5-21二次曲线(实例)【例5.11】已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如表5-9。试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比较表5-91978～1992年针织内衣零售量年份零售量(亿件)年份零售量(亿件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.95-22二次曲线(计算过程)表5-10针织内衣零售量二次曲线计算表年份时间标号t零售量(亿件)Ytt×Ytt2t2Ytt4趋势值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合计0173.845.22802712.69352173.85-23二次曲线（计算结果）根据计算表得a、b、c的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为$Yt=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143×8–0.128878×82=7.03(亿件)1993年零售量的预测值为128878.016143.09924.1393522806.27122802.45280158.173cbacabca5-24二次曲线(趋势图)048121619781980198219841986198819901992零售量趋势值零售量（亿件）图5-3针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）5-251.用于描述以几何级数递增或递减的现象2.一般形式为（二）指数曲线(Exponentialcurve)a、b为未知常数若b1，增长率随着时间t的增加而增加若b1，增长率随着时间t的增加而降低若a0，b1，趋势值逐渐降低到以0为极限ttabYˆ5-26指数曲线(a、b的求解方法)3.取时间序列的中间时期为原点，上式可化简为2lglglglglglgtbtaYttbanY2lglglglgtbYtanY1.采取“线性化”手段将其化为对数直线形式2.根据最小二乘法，得到求解lga、lgb的标准方程为5-27指数曲线(实例及计算结果)【例5.12】根据表5-6中的资料，确定1981～1998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较14698.12805.17lg2109lg171223286.337lg171lg18459896.32bababa汽车产量的指数曲线方程为2000年汽车产量的预测值为ttY)14698.1(2805.17ˆ（万辆）33.268)14698.1(2805.17ˆ202000Y5-28指数曲线(趋势图)05010015020025019811985198919931997汽车产量趋势值图5-4汽车产量指数曲线趋势（年份）汽车产量（万辆）5-29指数曲线与直线的比较1.