上海市嘉定区2016年高三第一学期期末一模学科质量检测数学理科试题及答案word解析版

2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）=．2．（4分）设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B=．3．（4分）若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=．4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．（4分）已知，则cos（30°+2α）=．8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为．10．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．11．（4分）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为．12．（4分）已知n∈N*，若，则n=．13．（4分）对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则=．14．（4分）对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．417．（5分）已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4B．3C．2D．118．（5分）已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．20．（14分）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S的最大值．21．（14分）设函数f（x）=k•ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．22．（16分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．23．（18分）设复数zn=xn+i•yn，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，zn+1=（1+i）•zn，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{xn•yn}的前102项之和．2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）=．【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用．2．（4分）设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】化简集合A、B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，={x|﹣1≤x＜1，x∈R}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．（4分）若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3=a﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2．【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m=10，∴这组数据的方差S2=[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5G：空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．7．（4分）已知，则cos（30°+2α）=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75°﹣α）=，再由诱导公式得cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]，由此利用二倍角公式能求出结果．【解答】解：∵，∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°﹣α）=，cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]=﹣cos[2（75°﹣α）]=﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]=﹣[2×﹣1]=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用．8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；27：图表型；4A：数学模型法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤2015，S=，k=2满足条件k≤2015，S=+，k=3…满足条件k≤2015，S=++…+，k=2015满足条件k≤2015，S=++…++，k=2016不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值．由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为．【考点】J7：圆的切线方程．菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先用点斜式设出切线的方程，再根据圆心O到切线的距离等于半径2，求得切线的斜率k的值，可得与之垂直的直线ax﹣y+1=0的斜率a的值．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为原点O（0，0），半径等于2，显然点P（1，2）在圆的外部．过点P能做2条圆的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，根据圆心O到kx﹣y+2﹣k=0的距离等于半径2，可得=2，求得k=0，或k=﹣．当k=0时，过点P（1，2）的直线斜率为零，故与之垂直的直线ax﹣y+1=0的斜率不存在；当k=﹣时，过点P（1，2）的直线斜率为﹣，故与之垂直的直线ax﹣y+1=0的斜率为，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．10．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思