上海市徐汇区2016年高三第一学期期末一模学科质量检测数学理科试题及答案word解析版

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是．2．（4分）方程的解是．3．（4分）设，则数列{an}的各项和为．4．（4分）函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）=．6．（4分）函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．（4分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．8．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．11．（4分）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．12．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．13．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+=．14．（4分）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m=．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．（5分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC．20．（14分）已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．（14分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．（16分）给定数列{an}，记该数列前i项a1，a2，…，ai中的最大项为Ai，即Ai=max{a1，a2，…，ai}；该数列后n﹣i项ai+1，ai+2，…，an中的最小项为Bi，即Bi=min{ai+1，ai+2，…，an}；di=Ai﹣Bi（i=1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{bn}是等比数列；②若数列{an}对应的di满足di+1＞di对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．23．（18分）已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2=4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是y2=8x．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．【解答】解：由题意可知：=2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=2px将p代入可得y2=8x．故答案为：y2=8x．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．2．（4分）方程的解是x=2．【考点】4H：对数的运算性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由方程可得3x﹣5=4，即3x=32，由此求得方程的解．【解答】解：由方程可得3x﹣5=4，即3x=32，解得x=2，故答案为x=2．【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题．3．（4分）设，则数列{an}的各项和为．【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由已知可知=，从而可得数列{an}为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，即求前n项和的极限，由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解：∵=，∴=，则数列{an}是以为首项以为公比的等比数列∴=所以数列的各项和S==故答案为【点评】本题所涉及的知识：等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比数列的求和公式，等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别4．（4分）函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为﹣．【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=+sin（2x+），由此求得函数y的最小值．【解答】解：函数y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x+），故当2x+=2kπ﹣，k∈z时，函数y取得最小值为﹣1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）=y=﹣4﹣x．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合．【分析】先设f（x）上一点（x，y），求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y=log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，y）的轨迹方程【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y=0的对称点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象由题意知，解得x'=﹣y，y'=﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象∴﹣x=log4（﹣y）∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x故答案为：y=﹣4﹣x【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式．解题的关键是会求点个关于直线的对称点．属简单题6．（4分）函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．7．（4分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16．【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．8．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0．【考点】IM：两条直线的交点坐标；OY：三阶矩阵．菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆．【分析】先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】根据题意，令x=1，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x=1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题时应利用x=1进行计算，是基础题．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【考点】L*：球面距离及相关计算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球．【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB=OC=OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA=OB=OC=OD=1，再由AB=，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB==﹣，则∠AOB=，则弧AB=•1=．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．11．（4分）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9个．【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况故答案为：9【