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2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.(4分)设全集U={1,2,3,4,5},若集合A={3,4,5},则∁UA=.2.(4分)已知扇形的半径为6,圆心角为,则扇形的面积为.3.(4分)已知双曲线x2﹣y2=1,则其两条渐近线的夹角为.4.(4分)若(a+b)n展开式的二项式系数之和为8,则n=.5.(4分)若实数x,y满足x2+y2=1,则xy的取值范围是.6.(4分)若圆锥的母线长l=5(cm),高h=4(cm),则这个圆锥的体积等于.7.(5分)在无穷等比数列{an}中,(a1+a2+……+an)=,则a1的取值范围是.8.(5分)若函数f(x)=ln的定义域为集合A,集合B=(a,a+1),且B⊆A,则实数a的取值范围为.9.(5分)行列式中,第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x),则y=1+f(x)的零点是.10.(5分)已知复数z1=cosx+2f(x)i,z2=(sinx+cosx)+i(x∈R,i为虚数单位).在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最小正周期.11.(5分)当0<x<a时,不等式+≥2恒成立,则实数a的最大值为.12.(5分)设d为等差数列{an}的公差,数列{bn}的前n项和Tn,满足Tn+=(﹣1)nbn(n∈N*),且d=a5=b2,若实数m∈Pk={x|ak﹣2<x<ak+3}(k∈N*,k≥3),则称m具有性质Pk.若Hn是数列{Tn}的前n项和,对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质Pk,则所有满足条件的k的值为.二、选择题(本题共有4题,满分20分)13.(5分)下列函数中既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是()A.f(x)=arcsinxB.y=lg|x|C.f(x)=﹣xD.f(x)=cosx14.(5分)某象棋俱乐部有队员5人,其中女队员2人,现随机选派2人参加象棋比赛,则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为()A.B.C.D.15.(5分)已知f(x)=logsinθx,θ∈(0,),设a=f(),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系是()A.a≤c≤bB.b≤c≤aC.c≤b≤aD.a≤b≤c16.(5分)已知函数f(x)=m•2x+x2+nx,记集合A={x|f(x)=0,x∈R},集合B={x|f[f(x)]=0,x∈R},若A=B,且都不是空集,则m+n的取值范围是()A.[0,4)B.[﹣1,4)C.[﹣3,5]D.[0,7)三、解答题(本大题共有5题,满分76分)17.(14分)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)求三棱锥E﹣PAD的体积;(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.18.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB=.(1)若sinA=,求cosC;(2)已知b=4,证明≥﹣5.19.(14分)上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得的利润是(5x+1﹣)元,其中1≤x≤10.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:该厂应选取何种生产速度?并求最大利润.20.(16分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B,满足PA,PB的中点均在抛物线C上(1)求抛物线C的焦点到准线的距离;(2)设AB中点为M,且P(xP,yP),M(xM,yM),证明:yP=yM;(3)若P是曲线x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的最小值.21.(18分)记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn,最小值为mn,令,其中n∈N*.(1)若an=2n+cos,请写出b3的值;(2)求证:“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等差数列”的充要条件;(3)若对任意n,有|an|<2018,且|bn|=1,请问:是否存在K∈N*,使得对于任意不小于K的正整数n,有bn+1=bn成立?请说明理由.2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.(4分)设全集U={1,2,3,4,5},若集合A={3,4,5},则∁UA={1,2}.【考点】1F:补集及其运算.【专题】11:计算题;37:集合思想;4O:定义法;5J:集合.【分析】利用补集定义直接求解.【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5},集合A={3,4,5},∴∁UA={1,2}.故答案为:{1,2}.【点评】本题考查补集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集定义的合理运用.2.(4分)已知扇形的半径为6,圆心角为,则扇形的面积为6π.【考点】G8:扇形面积公式.【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;56:三角函数的求值.【分析】先计算扇形的弧长,再利用扇形的面积公式可求扇形的面积.【解答】解:根据扇形的弧长公式可得l=αr=×6=2π,根据扇形的面积公式可得S=lr=•2π•6=6π.故答案为:6π.【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式,正确运用公式是解题的关键,属于基础题.3.(4分)已知双曲线x2﹣y2=1,则其两条渐近线的夹角为900.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】35:转化思想;4O:定义法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由双曲线方程,求得其渐近线方程,求得直线的夹角,即可求得两条渐近线夹角.【解答】解:双曲线x2﹣y2=11的两条渐近线的方程为:y=±x,所对应的直线的倾斜角分别为90°,∴双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线的夹角为90°,故答案为:90°.【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查直线的倾斜角的应用,属于基础题.4.(4分)若(a+b)n展开式的二项式系数之和为8,则n=3.【考点】DA:二项式定理.【专题】35:转化思想;49:综合法;5P:二项式定理.【分析】由题意利用二项式系数的性质,求得n的值.【解答】解:(a+b)n展开式的二项式系数之和为2n=8,则n=3,故答案为:3.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.5.(4分)若实数x,y满足x2+y2=1,则xy的取值范围是[﹣,].【考点】7F:基本不等式及其应用.【专题】11:计算题;57:三角函数的图象与性质.【分析】三角换元后,利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得.【解答】因为x2+y2=1,所以可设x=cosθ,y=sinθ,则xy=cosθsinθ=sin2θ∈[﹣,]故答案为[﹣,]【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域.属基础题.6.(4分)若圆锥的母线长l=5(cm),高h=4(cm),则这个圆锥的体积等于12πcm3.【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】11:计算题.【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径,那么圆锥的体积=×π×底面半径2×高,把相应数值代入即可求解.【解答】解:∵圆锥的高是4cm,母线长是5cm,∴圆锥的底面半径为3cm,∴圆锥的体积=×π×32×4=12πcm3.故答案为:12πcm3.【点评】本题考查圆锥侧面积的求法.注意圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形.7.(5分)在无穷等比数列{an}中,(a1+a2+……+an)=,则a1的取值范围是.【考点】8J:数列的极限.【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】无穷等比数列{an}中,,推出0<|q|<1,然后求出首项a1的取值范围.【解答】解:因为无穷等比数列{an}中,,所以|q|<1,=,所以,∵﹣1<q<1且q≠0∴0<a1<1且a1≠故答案为:.【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用,解题时要注意极限逆运算的合理运用.8.(5分)若函数f(x)=ln的定义域为集合A,集合B=(a,a+1),且B⊆A,则实数a的取值范围为[﹣1,0].【考点】1C:集合关系中的参数取值问题.【专题】36:整体思想;4O:定义法;5J:集合.【分析】先化简集合A,由B⊆A,得,得﹣1≤a≤0.【解答】解:∵>0,∴(x+1)(x﹣1)<0,∴﹣1<x<1,∴A=(﹣1,1);∵B⊆A,∴,∴﹣1≤a≤0,∴实数a的取值范围为[﹣1,0].故答案为[﹣1,0].【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合关系中的参数问题,难度中档.9.(5分)行列式中,第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x),则y=1+f(x)的零点是﹣1.【考点】OY:三阶矩阵.【专题】33:函数思想;4O:定义法;51:函数的性质及应用.【分析】将行列式按第3行第2列展开,由f(x)=A32=﹣=﹣(4×2x﹣4×4x)=﹣2x+2(1﹣2x),令y=1+f(x)=1﹣2x+2(1﹣2x)=0,解得:x=﹣1,即可求得y=1+f(x)的零点.【解答】解:第3行第2列的元素的代数余子式A32=﹣=﹣4×2x+4×4x=﹣2x+2(1﹣2x),∴f(x)=﹣2x+2(1﹣2x),y=1+f(x)=1﹣2x+2(1﹣2x),令y=0,即2x+2(1﹣2x)=1,解得:2x=,x=﹣1故答案为:﹣1.【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义,考查函数的零点的定义,属于中档题.10.(5分)已知复数z1=cosx+2f(x)i,z2=(sinx+cosx)+i(x∈R,i为虚数单位).在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最小正周期π.【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义;A5:复数的运算.【专题】38:对应思想;4R:转化法;57:三角函数的图象与性质;5N:数系的扩充和复数.【分析】由已知求得Z1,Z2的坐标,结合∠Z1OZ2=90°可得f(x)的解析式,降幂后利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期.【解答】解:由题意,Z1(cosx,2f(x)),,∴∠Z1OZ2=90°,∴,即2f(x)=﹣,∴f(x)=.则函数f(x)的最小正周期为π.故答案为:π.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查三角函数周期的求法,是基础的计算题.11.(5分)当0<x<a时,不等式+≥2恒成立,则实数a的最大值为2.【考点】3R:函数恒成立问题.【专题】11:计算题;35:转化思想.【分析】想法求出左边式子的最小值,首先把分式形式乘以a2,变形为2+[+]+[+],利用均值不等式得出式子的最小值.【解答】解:∵(+)a2=(+)[x+(a﹣x)]2=(+)[x2+2x(a﹣x)+(a﹣x)2]=2+[+]+[+]≥2+4+2=8∴+≥∴≥2'∴0<a≤2.【点评】考查了对式子的配凑变形,均值定理的应用,思路不太好想,有一定难度.12.(5分)设d为等差数列{an}的公差,数列{bn}的前n项和Tn,满足Tn+=(﹣1)nbn(n∈N*),且d=a5=b2,若实数m∈Pk={x|ak﹣2<x<ak+3}(k∈N*,k≥3),则称m具有性质Pk.若Hn是数列{Tn}的前n项和,对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质Pk,则所有满足条件的k的值为3,4.【考点】8E:数列的求和.【专题】15:综合题;38:对应思想;4R:转化法;54:等差数列与等比数列.【分析】求得n=1,2,3,4,5时,数列{bn}的前5项,即可求出通项公式,再求得d和首项a1,得到等差数列{an}的通项公式,求得n=1,2,3,4,H2n﹣1的特点,结合k=3,4,5,6,集合的特点,即可得到所求取值.【解答】解:Tn+=(﹣1)nbn(n∈N*),可得n=1时,T1+=﹣b1=﹣T1,解得b1=﹣,T2+=b2=﹣+b2+=b2,
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