上海市松江区2019年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2019年上海市松江区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分)，本大题共有12题，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12题每个空格得5分，否则一律得零分1．（4分）设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|＜0}，则A∩B＝．2．（4分）若复数z满足（3﹣4i）•z═4+3i，则|z|＝．3．（4分）已知f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y＝x对称，且点P（4，2）在函数y＝f（x）的图象上，则实数a＝．4．（4分）等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10＝．5．（4分）若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数m的值为．6．（4分）已知双曲线标准方程为﹣y2＝1，则其焦点到渐近线的距离为．7．（5分）若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积是．9．（5分）若函数f（x）＝，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有对．10．（5分）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||＝||，则•的最小值是．11．（5分）已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题：①线段A、B的中点的广义坐标为（）；②A、B两点间的距离为；③向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；④向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0其中的真命题是．（请写出所有真命题的序号）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）•f（﹣x）＝1和f（1+x）•f（1﹣x）＝4对任意的x∈R都成立．若当x∈[0，1]，f（x）的值城为[1，2]，则当x∈[﹣100，100]时，函数f（x）的值域为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）过点（0，1）且与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是（）A．2x+y﹣1＝0B．2x+y+1＝0C．x﹣2y+2＝0D．x﹣2y﹣1＝014．（5分）若a＞0，b＞0，则是的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）将函数f（x）＝2sin（3x+）的图象向下平移1个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，其中x1，x2∈[0，4π]，则的最大值为（）A．9B．C．3D．116．（5分）对于平面上点P和曲线C，任取C上一点Q，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）若曲线C是边长为6的等边三角形，则点集D＝{P|d（P，C）≤1}所表示的图形的面积为（）A．36B．36﹣3C．36+πD．36﹣3+π三、解答题（本大题满分76分大题共有5题17．（14分）已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）＝（+），求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，]时的最大值．18．（14分）已知函数f（x）＝a﹣（常数a∈R）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[2，3]，都有f（x）≥成立，求m的最大值．19．（14分）某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%．同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元．（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护支出，并判断第6个月该产品的收入是否够支付第6个月的维护支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20．（16分）已知曲线Γ上的任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为2，直线l交曲线Γ于A、B两点，O为坐标原点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若l不过O点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围．21．（18分）对于给定数列{an}，若数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有（an﹣bn）（an+1﹣bn+1）＜0，则称数列{bn}是数列{an}的“相伴数列”（1）若bn＝an+cn，且数列{bn}是数列{an}的“相伴数列”，试写出{cn}的一个通项公式，并说明理由；（2）设an＝2n﹣1，证明：不存在等差数列{bn}，使得数列{bn}是{an}的“相伴数列”；（3）设an＝2n﹣1，bn＝b•qn﹣1（其中q＜0），若{bn}是{an}的“相伴数列”，试分析实数b、q的取值应满足的条件．2019年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分)，本大题共有12题，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12题每个空格得5分，否则一律得零分1．（4分）设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|＜0}，则A∩B＝（1，3）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B＝{x|0＜x＜3}；∴A∩B＝{x|1＜x＜3}＝（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2．（4分）若复数z满足（3﹣4i）•z═4+3i，则|z|＝1．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由（3﹣4i）•z═4+3i，得z＝，则|z|＝||＝．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3．（4分）已知f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y＝x对称，且点P（4，2）在函数y＝f（x）的图象上，则实数a＝2．【考点】49：指数函数的图象与性质；4R：反函数．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意写出f（x）的解析式，把点P代入f（x）中求得a的值．【解答】解：f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y＝x对称，∴y＝f（x）＝logax，把点P（4，2）代入f（x）中，得loga4＝2，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．4．（4分）等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10＝12．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10＝6．由等差数列的性质可得a1+a10＝a4+a7，进而可得答案．【解答】解：∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10＝6．由等差数列的性质可得a1+a10＝a4+a7，∴a1+a4+a7+a10＝2（a1+a10）＝2×6＝12．∴a1+a4+a7+a10＝12．故答案为12．【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．5．（4分）若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数m的值为﹣1．【考点】OR：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】由题意可得＝0，且≠0，解得即可．【解答】解：∵二元一次方程组的增广矩阵是，该方程组无解，∴＝0，且≠0，∴m2﹣1＝0且2m﹣m（m+1）≠0，∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义．6．（4分）已知双曲线标准方程为﹣y2＝1，则其焦点到渐近线的距离为1．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y＝±x，即y﹣x＝0，所以焦点到其渐近线的距离d＝＝1．故答案为：1．【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．7．（5分）若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5A：平面向量及应用．【分析】由已知求得，然后利用数量积求夹角公式得答案．【解答】解：∵||＝2，（+）＝7，∴，即．设向量与的夹角为θ，则cosθ＝，则向量与夹角为．故答案为：．【点评】本题考查数量积求向量的夹角，是基础的计算题．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积是．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】15：综合题；58：解三角形．【分析】利用余弦定理，结合c2＝（a﹣b）2+6，C＝，求出ab＝6，利用S△ABC＝absinC，求出△ABC的面积．【解答】解：由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；所以S△ABC＝absinC＝×6×＝．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，正弦定理的运用，考查学生的计算能力，确定ab＝6是关键．9．（5分）若函数f（x）＝，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有4对．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】13：作图题；51：函数的性质及应用．【分析】y＝f（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）＝|lg（x﹣1）|（x＞1）的图象与f（x）＝sinx关于原点对称的函数的图象交点个数即可再分别画图象可观察得解．【解答】解：y＝f（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）＝|lg（x﹣1）|（x＞1）的图象与f（x）＝sinx关于原点对称的函数的图象交点个数即可，如上图可知：两个图象交点个数为4个，故答案为：4．【点评】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想．10．（5分）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||＝||，则•的最小值是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】如图所示，取＝（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取＝（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴•＝（cosθ﹣1，sinθ）•（cosθ﹣1，﹣sinθ）＝（cosθ﹣1）2﹣sin2θ＝，当且仅当，即时，上式取得最小值．即•的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．（5分）已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题：①线段A、B的中点的广义坐标为（）；②A、B两点间的距离为；③向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；④向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0其中的真命题是①③．（请写出所有真命题的序号）【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；21：阅