上海市虹口区2019年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2019年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题1．（4分）计算＝．2．（4分）不等式的解集是（用区间表示）．3．（4分）设全集U＝R，若A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝log2（1﹣x）}，则A∩（∁UB）＝4．（4分）设常数a∈R，若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（2，1），则a＝．5．（4分）若一个球的表面积是4π，则它的体积是．6．（4分）函数f（x）＝x+（x∈[2，8]）的值域为．7．（5分）二项式（）6的展开式的常数项为．8．（5分）双曲线﹣＝1的焦点到其渐近线的距离为．9．（5分）若复数z＝（i为虚数单位），则z的模的最大值为．10．（5分）已知7个实数1，﹣2，4，a，b，c，d依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则他们的和为正数的概率为．11．（5分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，△OAC是等边三角形，若点P是边AC（包含端点AC）上的动点，点Q在弧上，且满足OQ⊥OP，则的最小值为．12．（5分）若直线y＝kx与曲线y＝2﹣|x﹣1|恰有两个公共点，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（5分）已知x∈R，则“|x﹣|”是“x＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β15．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝ax2﹣x+1，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）16．（5分）已知点E是抛物线C：y2＝2px（P＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP＝μ•sin∠FEP，则μ的最大值为（）A．B．C．D．三、解答题17．（14分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝1﹣（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值及函数f（x）的值域；（2）若不等式t•f（x）≥3x﹣3在x∈[1，2]上恒成立，求实数t的取值范围．19．（14分）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝2（km），BC＝3（km）．CD＝1（km）．（1）求AC的长以及原棚户区建筑用地ABCD的面积；（2）因地理条件限制，边界AD，DC不能更变，而边界AB，BC可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．20．（16分）设椭圆Γ：+y2＝1，点F为其右焦点，过点F的直线与椭圆Γ相交于点P，Q．（1）当点P在椭圆Γ上运动时，求线段FP的中点M的轨迹方程；（2）如图1，点R的坐标为（2，0），若点S是点P关于x轴的对称点，求证：点Q，S，R共线；（3）如图2，点T是直线l：x＝2上的任意一点，设直线PT，FT，QT的斜率分别为kPT，kFT，kQT．求证：kPT，kFT，kQT成等差数列．21．（18分）对于n（n∈N*）个实数构成的集合E＝{e1，e2，…，en}，记SE＝e1+e2+…+en．已知由n个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3）满足：对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“SA＝（n+1）”（3）若SA＝2018．求证：n的最小值是11，并求n取最小值时，an的最大值．2019年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（4分）计算＝5．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】当|q|＜1时，，由＝＝则可得解．【解答】解：＝＝＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了极限及其运算，属简单题．2．（4分）不等式的解集是（1，2）（用区间表示）．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】先将2移项，然后通分，利用同解变形将不等式化为（x﹣2）（x﹣1）＜0，利用二次不等式的解法求出解集．【解答】解：不等式同解于：，即，即（x﹣2）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜2，所以不等式的解集是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查解决分式不等式时，先通过移项，将右边化为0，然后通过同解变形将分式不等式化为整式不等式来解，属于基础题．3．（4分）设全集U＝R，若A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝log2（1﹣x）}，则A∩（∁UB）＝{1，2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可解出B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：B＝{x|x＜1}；∴∁UB＝{x|x≥1}；∴A∩（∁UB）＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．4．（4分）设常数a∈R，若函数f（x）＝log3（x+a）的反函数的图象经过点（2，1），则a＝8．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得．【解答】解：依题意知：f（x）＝log3（x+a）的图象过（1，2），∴log3（1+a）＝2，解得a＝8．故答案为：8【点评】本题考查了反函数．属基础题．5．（4分）若一个球的表面积是4π，则它的体积是．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由球的表面积是4π，求出球半径为1，由此能求出球的体积．【解答】解：设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2＝4π，解得R＝1，∴球的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的表面积、体积的计算公式的合理运用．6．（4分）函数f（x）＝x+（x∈[2，8]）的值域为[，9]．【考点】34：函数的值域．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用对勾函数的单调性即可求解函数的最大与最小值，从而可求值域【解答】解：由对勾函数的单调性可知，f（x）＝x+在[2，2]上单调递减，在（2，8]上单调递增∴当x＝2时，函数有最小值f（2）＝＝4，∵f（2）＝6，f（8）＝9当x＝8时，函数有最大值f（8）＝9故函数的值域为[4，9]故答案为：[4，9]【点评】本题主要考查了对勾函数的单调性的简单应用，属于基础试题7．（5分）二项式（）6的展开式的常数项为60．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】求出二项式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可得到展开式中的常数项．【解答】解：二项式的通项公式为Tr+1＝C6r2rx﹣r＝2rC6r，令3﹣＝0，解得r＝2．故常数项为4C62＝60，故答案为60．【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）双曲线﹣＝1的焦点到其渐近线的距离为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0）．渐近线方程为y＝±x，即x﹣2y＝0，所以焦点到其渐近线的距离d＝＝．故答案为：．【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．9．（5分）若复数z＝（i为虚数单位），则z的模的最大值为．【考点】A8：复数的模；OM：二阶行列式的定义．【专题】38：对应思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知展开二阶行列式，求得复数模，利用倍角公式降幂后求最值．【解答】解：∵z＝＝sinθ•i﹣cosθ（i﹣1）＝cosθ+（sinθ﹣cosθ）i，∴|z|＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义，考查复数模的求法及三角函数的化简求值，是中档题．10．（5分）已知7个实数1，﹣2，4，a，b，c，d依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则他们的和为正数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】这7个实数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，根据概率公式计算即可．【解答】解：由题意可得，这7个实数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，①所选2个数均为正数：C42＝6，②所选2个一正一负：（﹣2，4），（﹣2，16），（﹣2，64），（﹣8，16），（﹣8，64），（﹣32，64），共6种，∴P＝＝，故答案为：【点评】本题考查了古典概率的问题，关键是列举，属于基础题．11．（5分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，△OAC是等边三角形，若点P是边AC（包含端点AC）上的动点，点Q在弧上，且满足OQ⊥OP，则的最小值为2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得，＝＝＝＝，结合向量数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，代入可求【解答】解：∵OQ⊥OP，∴＝0，∵半圆O的直径AB＝4，△OAC是等边三角形，且边长为2，由题意可得，＝＝＝＝，由数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，此时（）min＝2×＝2．故答案为：2【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义及向量投影定义的简单应用，解题的关键是要把图象问题转化为已知问题．12．（5分）若直线y＝kx与曲线y＝2﹣|x﹣1|恰有两个公共点，则实数k的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；31：数形结合；51：函数的性质及应用．【分析】y＝2﹣|x﹣1|＝即y＝，观察y＝kx与y＝f（x）可得恰有两个公共点的k的取值范围为：k＝1【解答】解：y＝2﹣|x﹣1|＝，即y＝，则y＝kx与y＝f（x）恰有两个公共点的k的取值范围为：k＝1或k≤0，故答案为：（﹣∞，0]∪{1}【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了数形结合的思想．二、选择题13．（5分）已知x∈R，则“|x﹣|”是“x＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．【分析】由|x﹣|得：﹣＜x＜1，再由“﹣＜x＜1”与“x＜1”的关系判断即可【解答】解：由|x﹣|得：﹣＜x＜1，又“﹣＜x＜1”能推出“x＜1”又“x＜1”不能推出“﹣＜x＜1”即“|x﹣|”是“x＜1”的充分非必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及绝对值不等式的解法，属简单题．14．（5分）关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】31：数形结合；48：分析法；5F：