上海市长宁嘉定区2018年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B=．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，则=．4．（4分）=．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则=．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn=．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程fn（x）=x的根的个数为（）A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{an}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足，试确定b1的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{cn}．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B={2，4}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0]．【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】分式不等式转化为其等价不等式组，解出即可．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）已知，则=．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．（4分）=．【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】分式同时除以3n，当n→+∞时，（）n→0，即可求得答案．【解答】解：==，∴=，故答案为：．【点评】本题考查极限的运算，考查转化思想，属于基础题．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用．6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由y=f﹣1（x）的图象过点（2，4）得函数y=f（x）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f（x）的解析式求得a的值．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+logax，∴2=1+loga4，即a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则=18．【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，由矩阵的定义可得=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，进而由等比数列的性质可得a2•a8=a3•a7=9，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{an}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及矩阵的运算，关键是掌握等比数列的性质．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由条件利用余弦定理求得cosB的值，可得B的值．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】由已知求得n值，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．【点评】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．【考点】3Q：函数的周期性．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由函数的奇偶性与周期性把f（）转化为求f（）的值求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn=﹣1+．【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，an=n，则bn=（﹣1）n=（﹣1）n•（+），再分n为偶数和奇数两种情况求出前n项和．【解答】解：∵2Sn=an•an+1（n∈N*）．当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣1•an，∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an（an+1﹣an﹣1），∵a1=1，∴an≠0∴an+1﹣an﹣1=2，∴（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）=2，∴an﹣an﹣1=1，∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=1+（n﹣1）=n，∴bn=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{bn}的前n项和Tn=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，Tn=﹣1+，当n为奇数时，Tn=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述Tn=﹣1+，故答案为：﹣1+．【点评】本题考查了数列的递推公式关系式，和数列的通项公式，以及数列的前n项和，属于中档题．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为2﹣4．【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤=，令，可得=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，由此能求出结果．【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第