奥数全年级一百七十九专题题库学生版731加乘原理之综合运用学生版

1.复习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．【例1】商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友．⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答【解析】⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从2种巧克力糖中选一种有2种办法；第二类是从3种水果糖中选一种，有3种办法．因此，小明有235种选糖的方法．⑵小明完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，因此有326种方法．教学目标例题精讲知识要点7-3-1.加乘原理之综合运用【答案】⑴5⑵6【例2】从2，3，5，7，11这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分母，这样的分数有_______________个，其中的真分数有________________个。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第7题【解析】第一问要用乘法原理，当分子有5种可能时，分母有4种可能，即5×4=20种，所以这样的分数有20个。第二问中，分母为3的真分数有1个，分母为5的真分数有2个，分母为7的真分数有3个，分母为11的真分数有4个，所以真分数共有1+2+3+4=10个。【答案】10个【例3】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答【解析】从北京转道上海到广州一共有339种方法，从北京转道武汉到广州一共也有339种方法供选择，从北京直接去广州有2种方法，所以一共有99220种方法．【答案】20【例4】从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？王明家张老师家学而思学校【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答【解析】根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共有326种方法，从学而思学校直接去张老师家一共有3条路可走，根据加法原理，一共有639种走法．【答案】9【巩固】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？丁丙乙甲【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答【解析】从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有428种方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有339种方法．根据加法原理，一共有8917种走法．【答案】17【巩固】王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？南京武汉重庆【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答【解析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有236(种)走法；第二类不经过武汉，有2种走法．根据加法原理，从重庆到南京一共有268种不同走法．【答案】8【例5】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张．【答案】48【例6】如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发，走4步恰好回到A的路有（）条．(途中不再回A)A【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第8题，五年级，初赛，第12题【解析】因为第一、三步到的点一定是以A为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数：（1）第一步与第三步是同一个点的情况有：6×5=30（种）（2）第一步与第三步不是同一个点的情况有：4×6=24（种）所以共有30+24=54（种）【答案】54种【例7】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？FEDCBA【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】走完6个顶点，有5个步骤，可分为两大类：①第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点．有412118种(从F到C的话，是不能到E的)；②第二次不走C：有4222132种(同理，F不能到E)；共计：83240种．【答案】40【例8】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】可以分三种情况来考虑：⑴3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有336P种不同的排列，此时有6212种订法．⑵3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有326种订法．⑶3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．由加法原理，不同的订法一共有126119种．【答案】19【例9】玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家玩具厂共可生产种颜色不同的玩具棒。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第10题【解析】总共有45种，分三类：只有一种颜色的有：3种；有两种颜色的有：3824；有3种颜色的有：6318所以共有：3241845（种）【答案】45种【例10】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答【解析】因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=47．【答案】47【例11】过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有____________种方法．【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，7题【【解解析析】】假如给小强的是智力拼图，则有2543120（种）方法．假如给小强的是遥控汽车，则有154360（种）方法．总共有12060180（种）方法．【答案】180种【例12】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】分两类情况讨论：⑴都会的这1人被挑选中，则有：①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有339种方法；②同样，这人做电工，也有9种方法．⑵都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法；从3名电工中选2人，也有3种方法，一共有339种方法．所以，根据加法原理，一共有99927种方法．【答案】27【例13】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：第三类第二类第一类第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法；第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有4312种表示法；第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法．根据乘法原理，共有43224种表示法．根据加法原理，一共可以表示出4122440种不同的信号．【答案】40【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】分3种情况：⑴取出一面，有5种信号；⑵取出两面：可以表示5420种信号；⑶取出三面：可以表示：54360种信号；由加法原理，一共可以表示：5206085种信号．【答案】85【例14】五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类⑴一种颜色：5种可能；⑵两种颜色：54360（）⑶三种颜色：54360所以，一共可以表示56060125种不同的信号方法二：每一个位置都有5种颜色可选，所以共有555125种．【答案】125【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】(一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白