奥数全年级一百七十九专题题库学生版783几何计数三学生版

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2nnn……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．EDCBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、立体几何计数【例1】用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。教学目标例题精讲知识要点7-8-3.几何计数（三）【考点】立体图形几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试，6题，走美杯，4年级，决赛，第8题【【解解析析】】一共有：3414950（块）。【答案】50块【例2】将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有个。【考点】立体图形几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第7题【解析】5322，所以这个长方体的尺寸只有1132，1216，148，228，244五种情况，其中只有尺寸为228的长方体的表面染色后，有24个正方体有2个面涂红，所以有1个面涂红的小正方体有0个。【答案】0【例3】如图是一个由27个棱长为1的白色小正方体木块粘成的棱长为3的正方体木块，现任意挖去其中的3个棱长为1的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆，那么余下的24个棱长为1的小正方体中恰好有3面涂蓝漆的最多能有____个.【考点】立体图形几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第12题【解析】1）角块本身为3面暴露在外的小方块；2）挖去外侧面中部的小方块，能够增加4块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8块3面涂漆的小方块，为最优方案3）因此挖去对称的2块外侧中部的小方块后，将产生16块3面暴露在外的小方块4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加3块3面暴露在外的小方块，但同时破坏原来的2块3面在外的小方块.5）所以最多有17块3面涂漆的小方块【答案】17模块二、几何计数的应用【例4】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。则在此图中最多可以画出__________个面积是2平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:3×3=9(个)【答案】9【巩固】图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的矩形有个。【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第8题【解析】4×4+3×5=31【答案】31个【巩固】下图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有个。【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题【解析】每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:34224(个)【答案】24个【例5】如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个。【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第2题【解析】我们把一排连续三个正方形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方形中直角三角形的个数就得到所求的总数：4×2×2×4＝64（个）【答案】64【例6】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②③底为2，高为1底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)3×2=6(个)3×2=6(个)④⑤⑥底为1，高为2底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)2×2=4(个)2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个)1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例7】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】1．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=32．思考图中怎样的三角形的面积等于3（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）．这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线．这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．【答案】48个【巩固】图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点在图中交叉点上的三角形)____个。【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第11题【解析】由三角形面积为3平方厘米,可知三角形的底×高为6，6=1×6=2×3，因为图形中长方形的长为3厘米，宽为2厘米。当三角形的底=3厘米时，有4×2=8种情况，；当底=2厘米时，有1×2=2种情况。所以，一共有8+2=10个。【答案】10个【例8】在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出个等腰三角形．【考点】几何计数的应用【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】由于8个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3个点作为顶点都不能组成等边三角形．那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有8个顶点，所以一共有3824个等腰三角形，而且这些等腰三角形互不相同(否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，只能是不同的顶点，这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不合)，所以可以作出24个等腰三角形．【答案】24个等腰三角形【例9】圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？【考点】几何计数的应用【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】圆周上4点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点．问题转化为“圆周上10个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：109874321210个．所以交点有210个．【答案】210个【例10】圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有________种．【考点】几何计数与找规律【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】本题可以利用归纳的方法解决．若圆周上只有2个点，只有1种连法；若圆周上只有4个点，先选中1个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1种连法，所以此时有122种连法；若圆周上只有6个点，先选中1个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以相对的1个点相连，若与相邻的点相连，剩下的4个点有2种连法；若与相对的点相连，剩下的4个点只有1种连法，所以此时有2215种连法；若圆周上只有8个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以与与它相隔2个点的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的6个点有5种连法；若与相隔两个点的点相连，剩下的6个点被分成两边，一边2个点，只有一种连法，一边4个点，有2种连法．所以此时共有522214种连法．【答案】14种连接法【例11】九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点A走到点B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A走到点B共有________种不同的走法．【考点】几何计数的应用【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初试，10题【【解解析析】】路线相当于右图中从A到B的不同路线（不走重复路线），从A到C、D到B方法都唯一，从C出发有3种方向，从D出发也有3种方向（不一定是最短路线），根据乘法原理，共有339种不同走法。【答案】9种【例12】国际象棋中“马”的走法如图所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中．在5×5个方格的国际象棋棋盘上（如右图）放入四枚白马（用○表示）和四枚黑马（用●表示）．要求将四枚白马移至四枚黑马的位置，将四枚黑马移至四枚白马的位置，而且必须按照国际象棋的规则，棋子只能移动到空格中，每个格最多放一枚棋子．那么最少需要__________步．○××××××××○○○○【考点】几何计数的应用【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初赛，4题【【解解析析】】需要移动8枚棋子，任意棋子只移动一步是无法到达目的空格当中的，所以，最少需要8216步，具体方案：如下图，用四步交换两枚棋子到目的空格当中．用同样的方法处理其他6枚棋子．一共需要16步．4321【答案】16步【例13】请将三个“数”、三个“学”、三个“美”填入右图中，使得每一横排、每一竖排都有这三个字，如果在左上角摆上“数”，那么可能有_______几种不同的摆法。【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第9题【解析】由于有一个“数”已经填在左上角的方格内，所以剩下的2个“数”只有两种填法，如下图所示：对于上面的两个33方格，只要任何一个空白方格中填入一个字，则这个33方格都只有唯一填法，比如对于上左图，在第二行第一列填入“学”，则第三行第一列和第二行第三列都只能填“美”；则第三行第二列和第一行第三列都只能填“学”，第一行第二列只能填“美”。所以只要确定某一个空白方格中填的字，也就确定了整个33方格的填法。而现在每个空白方格中可以填“学”或“美”，有两种填法，所以共有224种满足题