奥数全年级一百七十九专题题库教师版131定义新运算教师版

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例1】若*AB表示3ABAB，求5*7的值。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。例题精讲知识点拨教学目标定义新运算由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312【答案】312【【巩巩固固】】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【答案】7【【巩巩固固】】设a△2baab，那么，5△6______，(5△2)△3_____.【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】56552613△52552221△,1321216435△【答案】435【【巩巩固固】】P、Q表示数，*PQ表示2PQ，求3*(6*8)【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】68373*(6*8)3*()3*7522【答案】5【【巩巩固固】】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,2abab,那么4(68)(35).【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】原式4[(681)(352)]4[1313]4[13131]425425298【答案】98【【巩巩固固】】MN表示()2,(20082010)2009MN____【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】原式200820102*20092009*20092009200922009【答案】2009【【巩巩固固】】规定运算“☆”为：若ab，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若ab，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】19【答案】19【例2】“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，可得c=1,d=26△1000＝6×c＋1000×d=2006【答案】2006【【巩巩固固】】对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝2mabab（m是一个确定的整数）。如果14＝23，那么34等于________。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】根据14=23，得到1423214223mm，解出m=6。所以，634113423412。【答案】1112【例3】对于任意的整数x与y定义新运算“△”：6=2xyxyxy,求2△9。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】北京市，迎春杯【解析】根据定义6=2xyxyxy于是有62922952295【答案】255【【巩巩固固】】“*”表示一种运算符号，它的含义是：111xyxyxyA，已知11221212113A，求19981999。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】根据题意得12111,,2116,1211322116AAAA，所以111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000399811998199920001998000【答案】11998000【例4】[A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]=.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】因为21823有(11)(21)6个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式(64)25.【答案】5【【巩巩固固】】x为正数,x表示不超过x的质数的个数,如5.1=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么19+93+4×1×8的值是.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】19为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.93为不超过的质数,共24个,易知1=0,所以，原式=19+93=8+24=32=11.【答案】11【【巩巩固固】】定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】42【例5】我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996的结果是多少？【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)(2.25)9963412【答案】12【【巩巩固固】】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）]【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。[（7◎6）&5]×[5◎（3&9）]＝[6&5]×[5◎9]＝6×5＝30【答案】30【【巩巩固固】】我们规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则108651120=△△○13+15△【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，决赛【解析】根据题目要求计算如下：108651120=861315=228=56△○○13+15△【答案】56【例6】如果规定a※b=13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是______。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=218【答案】218【【巩巩固固】】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有G36G429817（）（）。【答案】17【【巩巩固固】】如果&10abab,那么2&5。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】2&5=2+5÷10=2.5【答案】2.5【例7】“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】华杯赛，六年级，决赛【解析】偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981【答案】254948903981【例8】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛，复赛【解析】因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式=狼【答案】狼【例9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗规定：警察小偷警察，警察小偷小偷．那么：（猎人小兔）（山羊白菜）．【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯，4年级【解析】谁握着枪就留下谁，结果应该是白菜【答案】白菜模块二、反解未知数型【例10】如果a△b表示(2)ab,例如3△4(32)44,那么,当a△5=30时,a=.【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【解析】依题意,得(2)530a,解得8a.【答案】8【【巩巩固固】】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【解析】因为4※1=342110,所以x※(4※1)=x