奥数全年级一百七十九专题题库教师版222方程组解法综合教师版

1.学会用带入消元和加减消元法解方程组2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题知识点说明：一、方程的历史同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元263年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。方程的英语是equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把equation译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。二、学习方程的目的使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。三、解二元一次方程组的一般方法解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。消元方法：代入消元法和加减消元法代入消元法：⒈取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①；⒉将①代入另一个方程，得一元一次方程；⒊解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；⒋将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．加减消元法：⒈变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）；知识精讲教学目标方程组解法综合⒉将两条方程相加或相减消元；⒊解一元一次方程；⒋代入法求另一未知数．加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．模块一、二元一次方程组【例1】解方程51xyxy（,xy为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答【解析】()()51xyxy26x3x32xy方法二：解代入消元法，由5xy得到5xy，代入方程1xy中，得到51yy，整理得2y，所以3x，所以方程的解为32xy【答案】32xy【例2】解方程92203410uvuv（,uv为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：加减消元法化v的系数相同，加减消元法计算得2(92)(34)22010uvuv去括号和并同类项得18320uu1530u2u21uv方法二：代入消元法由9220uv得到104.5vu，代入方程3410uv中得到34104.510uu，整理得2u，1v，所以方程解为21uv【答案】21uv【例3】解方程组503217xyxy（,xy为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答【解析】加减消元，若想消掉y，应将y的系数统一，因为2,510，所以第一个方程应该扩大2倍，第二个式子应该扩大5倍，又因为y的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：2(5)5(32)20517xyxy，1785x得5x，所以550y，解得1y。例题精讲【答案】51xy【例4】解方程组37528xyxy（,xy为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】2星【题型】解答【解析】将第一个式子扩大2倍和二式相减得2(3)(52)2512xyxy，去括号整理1122x解得2x，所以方程的解为21xy【例5】解方程组2(150)5(350)0.10.060.085800xyxy（,xy为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答【解析】对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得：215550538.5400xyxy，若想消掉y，将方程二扩大3倍，又因为y的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：(215)5(53)55058.5400xyxy，去括号整理得2717550x，解得650x，所以方程的解为65050xy【例6】【答案】65050xy解下面关于x、y的二元一次方程组：4320413xyyx【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答【解析】整理这个方程组里的两个方程，可以得到：43204330xyxy，可以看出，两个方程是不可能同时成立的，所以这是题目本身的问题，无解【答案】无解【例7】解方程组3434192241xyxy（,xy为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答【解析】本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将4x与1y看出相应的未知数，因为每一项的分母不同，所以先将分母系数化成同样的，所以第二个式子等号两边同时乘以2整理得：3492()2()3224141xyxy，去括号整理后得到2174x，根据分数的性质计算得7x，所以方程的解为：73xy模块二、多元一次方程【例8】解方程组3472395978xzxyzxyz（,,xyz为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答【解析】观察,,xyz的系数发现，第二个式子与第三个式子中y的系数是3倍关系，所以将第二个式子扩大3倍与第三个式子相减得到：3(23)(597)398xyzxyz，去括号整理得111035xz，与第一个式子整理得347111035xzxz，若想消掉z，，因为4,1020，所以第一个方程应该扩大5倍，第二个式子应该扩大2倍，又因为z的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：2(1110)5(34)23557xzxz，去括号整理得735x，5x，所以方程解为572xyz【巩固】解方程组272829xyzxyzxyz（,,xyz为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答【解析】将一式与二式相减得(2)(2)87xyzxyz去括号整理后得1yx；将二式扩大2倍与三式相减得2(2)(2)289xyzxyz，去括号整理后得37yx；最后将两式相加计算结果如下：()(3)17yxyx，整理得48y，4y所以方程的解为：123xyz【例9】解方程组12527xyzyzuzuvuvxvxy（,,,,xyzuv为正整数）【考点】二元一次方程组【难度】3星【题型】解答【解析】将5个式子相加得17xyzuv，将1式与2式相加得3xu，将2式与3式相加得7yv，同理连续相加得到37798xuyvzxuyvz，整理后解为06731xyzuv【答案】06731xyzuv