奥数全年级一百七十九专题题库教师版453圆柱与圆锥教师版

圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式立体图形表面积体积圆柱hr222π2πSrhr圆柱侧面积个底面积2πVrh圆柱圆锥hr22ππ360nSlr圆锥侧面积底面积注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长21π3Vrh圆锥体板块一圆柱与圆锥【例1】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)11111.50.5【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为223.141.514.13(立方米)，侧面积为23.14(0.511.5)118.84(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97(立方米)．【答案】32.97【例2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？例题精讲圆柱与圆锥【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722(平方厘米)．【答案】307.72【例3】(希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．【答案】300π立方厘米或360π立方厘米【例4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π3.14)16.56m【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】圆的直径为：16.5613.144(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：428(m)，故体积为100.48立方米．【答案】100.48立方米【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π3.14)10cm【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8(厘米)，原来的长方形的面积为：10462.81022056（）（）(平方厘米)．【答案】2056【例5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.5626.28厘米，底面半径为6.283.1421厘米，所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12(立方厘米)．【答案】25.12【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？4cm【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536(平方厘米)，两个底面积是：23.1412.563.142225.12(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736(平方厘米)．【答案】182.8736【例6】(两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm．(π取3.14)第2题【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：2222008(cm)rh，所以2502(cm)rh，所以，圆柱体侧面积为：22π23.145023152.56(cm)rh．【答案】3152.56【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3)【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10厘米，宽为圆柱底面的直径，设为2r，则210240r，1r(厘米)．圆柱体积为：2π11030(立方厘米)．【答案】30【例7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？(π3.14)【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．(法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．可知，圆柱体的高为250.243.1424(厘米)，所以增加的表面积为24216(平方厘米)；(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.1426.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.246.288平方厘米，所以增加的表面积为8216平方厘米．【答案】16【例8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米，89120立方厘米．【答案】89120【例9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150(毫升)．【答案】150【例10】(”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______立方厘米．(π取3.14)8(单位：厘米)4106【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：24π()(62)3.1432100.482(立方厘米)．【答案】100.48【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的623倍．所以酒精的体积为326.4π62.17231立方厘米，而62.172立方厘米62.172毫升0.062172升．【答案】0.062172【巩固】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)【答案】1500【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．7cm4cm5cm【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm，从而水与空着的部分的比为4:22:1，由图1知水的体积为104，所以总的容积为4022160立方厘米．【答案】60【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm11cm【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】设圆锥的高为x厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：22215π611π6π63xx，解得9x，所以容器的容积为：221π612π69540π16203V(立方厘米)．【答案】1620【例11】(希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．2厘米【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】在水中的木块体积为55375(立方厘米)，拿出后水面下降的高度为75501.5(厘米)【答案】1.5【例12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A盒注满水，把A盒的水倒入B盒，使B盒也注满水，问A盒余下的水是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】将圆柱体分别放入A盒、B盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说A盒中装的水恰好可以注满B盒而无剩余，所以A盒余下的水是0立方厘米．【答案】A盒余下的水是0立方厘米【例13】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】最后拉出的