江苏省南通市启东中学20162017学年高一下学期第一次月考数学试卷Word版含解析

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题1．不等式的解集为．2．在等比数列{an}中，a1=1，a5=16，则a3=．3．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，求A的取值范围．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为．5．已知函数f（x）=x2﹣|x|，若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则实数m的取值范围是．6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．7．在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2﹣an=1+（﹣1）n（n∈N*），则S100=．8．若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．9．如图，某人为了测量某建筑物两侧A．B间的距离（在A，B处相互看不到对方），选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是．10．等比数列{an}中，a1=1，an=（n=3，4，…），则{an}的前n项和为．11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为．12．在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，点D满足=2，且AD=，则BC的长为．13．在数列{an}中，若an2﹣a2n+1=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．其中真命题的序号为（将所有真命题的序号填在横线上）．14．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项，如表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011=．二、解答题15．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求实数a、b的值；（2）解关于x的不等式＞0（c为常数）16．在△ABC中，∠A的內角平分线交BC于D，用正弦定理证明：=．17．流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．18．已知△ABC中，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，外接圆半径为．（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值．19．已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an•log2an，数列{bn}的前n项和Tn，求满足不等式≥的最大n值．20．已知数列{an}中，a1=1，a2=a，且an+1=k（an+an+2）对任意正整数都成立，数列{an}的前n项和为Sn（1）若k=且S2017=2017a，求a（2）是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k值；若不存在，请说明理由；（3）若k=﹣，求Sn．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．不等式的解集为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】化简不等式为分式不等式，然后转化为二次不等式解答即可．【解答】解：不等式，可化为，即：x（1﹣x）≤0且x≠0解得x＜0或x≥1故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．在等比数列{an}中，a1=1，a5=16，则a3=4．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据等比数列的通项公式和等比数列的性质即可得到结论．【解答】解：在等比数列中，a1a5=a，∵a1=1，a5=16，∴a=1×16=16，即a3=±4，∵a3=，∴a3=4，故答案为：4．3．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，求A的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知不等式，再利用余弦定理表示出cosA，根据得出的不等式求出cosA的范围，利用余弦函数的性质即可得出A的范围．【解答】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，得：a2≤b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA=≥=，∵A为三角形内角，∴0＜A≤．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为．【考点】HR：余弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：5．已知函数f（x）=x2﹣|x|，若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣1，1）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】若将f（﹣m2﹣1）＜f（2）代入f（x）=x2﹣|x|，得到的式子会很复杂，可结合函数的奇偶性及单调性求解．【解答】解：易知函数f（x）=x2﹣|x|为偶函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）=x2﹣x，在（0，）上单调递减，（，+∝）上单调递增，f（x）图象如图所示：若f（﹣m2﹣1）＜f（2），则只需﹣2＜﹣m2﹣1＜2，解的﹣1＜m＜1故答案为：（﹣1，1）6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】HR：余弦定理；8B：数列的应用；HP：正弦定理．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：157．在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2﹣an=1+（﹣1）n（n∈N*），则S100=2600．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】an+2﹣an=1+（﹣1）n（n∈N*），n为奇数时，可得：a2k+1=a2k﹣1=…=a1=1．n为偶数时，a2k+2﹣a2k=2，可得数列{a2k}是等差数列，公差为2．利用分组求和即可得出．【解答】解：∵an+2﹣an=1+（﹣1）n（n∈N*），n为奇数时，可得：a2k+1=a2k﹣1=…=a1=1．n为偶数时，a2k+2﹣a2k=2，可得数列{a2k}是等差数列，公差为2．∴S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=50+50×2+×2=2600．故答案为：2600．8．若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，由=，知对x∈（﹣∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范围．【解答】解：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，∵=，∴对x∈（﹣∞，λ]恒成立．设，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+，解得λ≤﹣1，或（舍）当x＞﹣，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，=，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．9．如图，某人为了测量某建筑物两侧A．B间的距离（在A，B处相互看不到对方），选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是a，b，γ．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由于α，β无法测量，故只能测量出a，b，γ，利用余弦定理计算出AB．【解答】解：∵在A，B处相互看不到对方，∴α，β无法测量，由余弦定理可知AB=，故只需测量出a，b，γ即可求出AB；故答案为：a，b，γ10．等比数列{an}中，a1=1，an=（n=3，4，…），则{an}的前n项和为n或﹣×（）n．【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知条件，先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：设公比为q，由an=，∴2an=+，∴2=+，解得q=1或q=﹣，当q=1时，a1=1，an=1，Sn=n，当q=﹣，a1=1，Sn==﹣×（）n，故答案为：n或﹣×（）n，11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为16．【考点】75：一元二次不等式的应用．【分析】根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，解之得b=a2．由此将关于x的不等式f（x）＜c化简得x2+ax+a2﹣c＜0，再由根与系数的关系解方程|x1﹣x2|=8，即可得到实数c=16．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴函数的最小值为0，可得△=a2﹣4b=0，即b=a2又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b﹣c＜0，即x2+ax+a2﹣c＜0，∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是方程x2+ax+a2﹣c=0的两根分别为x1=m，x2=m+8，∴，可得|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=64，即（﹣a）2﹣4（a2﹣c）=64，解之即可得到c=16故答案为：1612．在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3．【考点】9E：向量数乘的运算及其几何意义．【分析】以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示，C（3，0），设B（t，t），根据=2，得出D点的坐标，利用AD的长，求出t的值，确定出B的坐标，即得BC的长．【解答】解：根据题意，以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示；则C（3，0），∵∠A=45°，∴设B（t，t），其中t＞0，D（x，y）；根据=2，得（x﹣3，y）=2（t﹣x，t﹣y），即，解得x=，y=，∴D（，）；又∵AD=，∴+=13，解得t=3或t=﹣（舍去）；∴B（3，3），即BC=3．故答案为：3．13．在数列{an}中，若an2﹣a2n+1=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．其中真命题的序号为①②③（将所有真命题的序号填在横线上）．【考点】2K：命题的真假判断与应用