20192020年中考数学专题复习九年级数学平面直角坐标系函数及图象人教版知识精讲

九年级数学平面直角坐标系、函数及图象人教版【本讲教育信息】一.教学内容：平面直角坐标系、函数及图象［学习目标］1.掌握平面直角坐标系，建立数形结合的基础。2.理解应用函数图象解决问题。3.深入了解应用各种函数，如一次函数、反比例函数、二次函数。二.重点、难点：1.平面直角坐标的概念及每一个点与一对有序实数的一一对应关系。2.各象限内点的符号：二一（－，＋）（＋，＋）三四（－，－）（＋，－）3.特殊点的坐标（1）x轴上点纵坐标为0（a，0）（2）y轴上点横坐标为0（0，b）（3）一、三象限角分线上点，横、纵坐标相等（aa，）（4）一、三象限角分线上点，横、纵坐标互为相反数（aa，）（5）平行于x轴直线上的点纵坐标相等。（6）平行于y轴直线上的点横坐标相等。（7）关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数。（8）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数。（9）关于原点对称的点，横、纵坐标分别互为相反数。4.距离如果已知点A的坐标ab，，点A到x轴距离为b，到y轴的距离为a，利用勾股定理不难推出点A到原点的距离为ab22。两点AxyBxy1122，，，的距离由勾股定理知：ABxxyy1221225.常量和变量，函数概念6.函数三要素，定义域、解析式、值域。7.表示函数的三种方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法8.函数图象的定义及画法步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线9.一次函数ykxb（k、b常数，k0）b0时，ykx（k常数，k0）正比例函数（1）图象过00，，，bbk的直线正比例函数的图象是过原点的直线。（2）性质：k0，增函数，k0，减函数。10.二次函数yaxbxca20（1）几种特殊二次函数yaxayaxcacyaxbxabyaxhah22220000···由yaxa20的图象，通过平移可分别得到yaxcac20·；yaxbxabyaxhah2200·；·的图象。（2）二次函数的图象二次函数yaxbxc2的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线。（3）二次函数的性质二次函数yaxbxc2的性质对应在它的图象上，有如下性质：①抛物线yaxbxc2的顶点是baacba2442，，对称轴是直线xba2；②若a0，抛物线yaxbxc2的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当xba2时，y随x的增大而减小；当xba2时，y随x的增大而增大；当xba2时，y有最小值442acba；若a0，抛物线yaxbxc2的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点xy，，当xba2，y随x的增大而增大；当xba2时，y随x的增大而减小；当xba2时，y有最大值442acba；③抛物线yaxbxc2与y轴的交点为（0，c）；④在二次函数yaxbxc2中，令y0可得到抛物线yaxbxc2与x轴交点情况：当bac240时，抛物线yaxbxc2与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是bbaca2420，和bbaca2420，；当△＝0时，抛物线yaxbxc2与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点ba20，；当△＜0时，抛物线yaxbxc2与x轴没有公共点。11.反比例函数（1）反比例函数如果ykx（k是常数，k≠0），那么y叫做x的反比例函数。（2）反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。（3）反比例函数的性质反比例函数ykx的性质对应在它的图象上，有如下性质：①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小；②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大。说明：因为反比例函数ykx中，x0且y0，因此，它的图象可以无限靠近两轴，但永远不会与两轴相交。【典型例题】例1.已知函数ymxm21322，m为何值时，（1）y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大；（2）函数的图象是位于第二、四象限的双曲线；（3）函数的图象是开口向上的抛物线。解：（1）欲符合题意，m需满足：2103212mm解得：mm121m1（2）欲符合题意，m需满足：2103212mm解得：mm1233m33（3）欲符合题意，m需满足：2103222mm解得：mm12233m233例2.证明点（1，4）在过点（-1，9）和点（3，-1）的直线上。分析：要证明一个点在某个函数的图象上，只要能说明这个点的坐标满足这个函数的解析式就可以了。因此，本题可先求出图象是过点（-1，9）和（3，-1）的直线的函数解析式，再证明点（1，4）满足这个解析式即可。证明：设图象是过点（-1，9）和（3，-1）的直线的函数解析式为ykxb，那么913kbkb解得：kb52132yx52132∵当x1时，y521324∴点（1，4）在函数yx52132的图象上即点（1，4）在过点（-1，9）和点（3，-1）的直线上说明：确定函数解析式经常利用待定系数法，先设出解析式的形式，再根据题意列出关于解析式中待定系数的方程（组），解这个方程（组）求出待定系数的值。注意：有几个待定系数，就需要列出几个方程。例3.已知：直线l1与直线yx832平行，并且与直线3240xy交于y轴上同一点，直线l2过原点并且与双曲线yx2交于点（-2，m），求：（1）图象分别为直线ll12、的函数解析式；（2）直线ll12、及x轴围成的三角形面积。解：（1）设直线l1的函数解析式为ykxb11，直线l2的函数解析式为ykxb22∵直线l1与直线yx832平行k132∵直线3240xy即yx342与y轴交于点（0，-2）∴直线l1也与y轴交于点（0，-2），即b12∴直线l1的函数解析式为yx322∵直线l2过原点，则b20∴设直线l2的函数解析式为ykx2∵直线ykx2与双曲线yx2交于点（-2，m）∴点（-2，m）的坐标同时满足这两个解析式m221，交点为（-2，1）把（-2，1）代入ykxk2212，，解得：k212∴直线l2的函数解析式为yx12（2）在同一坐标平面内画出这两个函数的图象（如图所示）令yx3220，解得：x43∴直线l1交x轴于A430，点，直线l2交x轴于原点（0，0）解yxyx32212得：xy21∴直线l1与l2的交点B的坐标为（-2，1）作BC⊥x轴于C点，则BCOA14343，SOABCABC121243123·∴直线l1、l2及x轴围成的三角形面积为23说明：（1）求函数图象与x轴的交点坐标，只需令纵坐标y0，再代入解析式，求出的x值就是交点的横坐标；同理，求函数图象与y轴的交点坐标，只需令横坐标x0，代入解析式后，求出的y值就是交点的纵坐标；如果求两个函数图象的交点坐标，只需将它们的函数解析式联立起来解方程组，求出的x、y值即是交点的横、纵坐标。（2）设一次函数ykxb11和ykxb22的图象分别为直线l1和l2，那么，当kk12且bb12时，l1∥l2；反之也对。例4.已知：一次函数图象与x轴交于A（α，0），与y轴交于B（0，β），其中α、β是关于x的方程xxm2310的两个根，且A、B两点间距离等于5，求一次函数解析式。分析：欲求一次函数解析式，需先求出A、B两点的坐标即α、β两个未知数的值，又因为α、β与未知数m有关，求三个未知数需要三个方程，因此，需找出关于α、β、m的三个等量关系，这可以从一元二次方程根系关系和A、B两点间距离得到。解：∵α、β是xxm2310的两根341540312mmm·∵A（α，0）、B（0，β）两点间距离等于5由勾股定理不难推出22255222225321m解得：m1当m1时，满足5401mm，解32·得：12或21AB111002，，，或AB222001，，，设所求一次函数解析式为ykxb当图象过AB11、两点时，02kbb解得：kb22yx22当图象过AB22、两点时，021kbb解得：kb121yx121∴所求函数解析式为yx22或yx121例5.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中，平均每生产一件产品有1吨废渣产生，为达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费。问：（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出按两种方案处理废渣时，y与x之间的函数关系式；（利润＝总收入－总支出）（2）若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算。解：（1）因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：选择方案一时，月利润yxxxx1055005200420...选择方案二时，月利润yxxxx205501035...（2）若yy12，即0420035..xx，解得x400则当月产量大于400件时，选择方案一所获利润较大；当月产量等于400件时，两种方案所获利润一样大；当月产量小于400件时，选择方案二所获利润较大。说明：通过建立函数关系式，利用两个代数式的差的正负比较它们的大小，是解决有关“优惠”、“省钱”问题的一种常用的方法。例6.已知：二次函数yxx234122（1）把它配方成yaxhk2的形式；（2）写出函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴；（3）x取何值时，y有最大值还是最小值？值是多少？（4）求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标；（5）画出此函数的图象；（6）根据函数图象回答：①x取何值时，y＞0？x取何值时，y＜0？②x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？解：（1）yxx2341222361823692723327233182222xxxxxx（2）抛物线开口向下，顶点（3，18），对称轴：直线x3（3）ay0，有最大值当x3时，y最大值18（4）x0时，yy120；时，x333∴抛物线与y轴交点为（0，12）；与x轴交点为3330，和3330，（5）列表：x-30369y-6121812-6函数图象如图所示：（6）①x333时，y0∴由图象不难看出：333333x时，y0x333或x333时，y0②∵对称轴为x3∴当x3时，y随x的增大而增大当x3时，y随x的增大而减小例7.已知：二次函数yaxbxc2的图象如图所示，判断一次函数ybxca的图象不经过第几象限？解：由抛物线开口向上可知a0由抛物线与y轴交点在x轴下方可知c0由对称轴在y轴右侧可知ba20，b0∵一次函数ybxca中，bca00，∴直线yb