20192020年中考数学专题复习九年级数学概率的求法和应用知识精讲

九年级数学概率的求法和应用【本讲主要内容】概率的求法和应用【知识掌握】【知识点精析】主要内容分为概率的求法和简单应用。概率的求法分为列举法和用频率估计两种方法。列举法又分为列表法和画树状图法。通过列举事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性都相等，则可得出事件A发生的概率为：PAmn()其中：n表示所有可能出现的结果个数；m表示所求事件A出现的结果个数。特别地：①当平面区域上所有可能发生的结果难以列出时，我们可以运用计算面积的方法求概率。②当每个结果发生的可能性不相等时，运用重复实验的频率或频率的平均值估计概率。☆在掌握求概率方法的基础上，要注意体会随机思想，会从具体实例中了解事件发生的不确定性，在分析问题和解决问题中体会随机思想，从而逐步达到能力的提升。☆要学会用概率知识解决简单实际问题。特别是会分析实际问题的特征，选择求概率的方法。在类比三个典型实验的基础上建立实验模型来求解生产、生活中的一些简单事件的概率，提高运用数学的意识和分析问题及解决问题的能力。【解题方法指导】例1.在五张大小相同的卡片上，分别写有数字0、1、1、2、2，把写有1、2的两张卡片放在左边，把另外写有0、1、2的三张卡片放在右边，并且写有数字的面都朝下。（1）分别从左、右两边随机各取出一张卡片，求这两张卡片上的数字之和为奇数的概率；（2）将右边的三张卡片随机排成一行，求翻开后组成一个三位数的概率。分析：（1）将取出的左、右两边两张卡片上的数字求和，所有可能出现的结果如表所示：右边取出的数字两个数字求和左边取出的数字01211+0=11+1=21+2=322+0=22+1=32+2=4（2）右边三张卡片随机排成一行，翻开后，所有可能出现的结果如图右列所示：百位十位个位出现的结果1————2————01202————1————0210————2————10212————0————1200————1————20121————0————210解：（1）∵这两张卡片的数字之和的所有可能出现的结果有6个它们是1，2，3，2，3，4又每个结果发生的可能性都相等出现和为奇数的结果有3个∴P（数字之和为奇数）=3612（2）翻开后所有可能出现的结果有6个它们是012，021，102，120，201，210∵出现三位数的结果有4个∴P（组成三位数）=4623说明：做此类题的关键在于弄清概率的概念及求概率的公式，为方便起见，可通过列表的方法加以完成。例2.口袋里有四枚除颜色外都相同的棋子，其中有三枚是红色的，一枚是黑色的，从中随机同时摸出两枚，求摸出的两枚棋子颜色不同的概率。分析：只需列举同时摸出两枚棋子的所有可能结果，为防止遗漏或重复，给三枚红色棋子编号为红1、红2、红3。结果如图所示：一枚另一枚两枚红2————（红1，红2）红1红3————（红1，红3）黑————（红1，黑）红3————（红2，红3）红2黑————（红2，黑）红3————黑————（红3，黑）解：同时摸出两枚棋子的所有可能结果有6个：（红1，红2）（红1，红3）（红1，黑）（红2，红3）（红2，黑）（红3，黑）每个结果发生的可能性都相同，其中出现颜色不同的结果有3个。所以，P（摸出两枚棋子颜色不同）3612说明：此题用列表法不太方便，使用树状图效果较好，因此，会画树状图是解题中必备的技能之一。例3.在2004年雅典奥运会女排决赛中，规定五局三胜，在俄罗斯队2：0领先的情况下，中国队夺得金牌的概率有多大？分析：在这种情况下，必须比赛满五局，中国队才有可能夺得金牌。只需求后三局比赛中，中国队连胜3局的概率，所以需要列出后三局比赛中国队所有可能出现胜负的结果。解：后三局比赛中，中国队所有可能出现胜负的结果有8个，即（胜，胜，胜）（胜，胜，负）（胜，负，胜）（胜，负，负）（负，胜，胜）（负，胜，负）（负，负，胜）（负，负，负）其中出现连胜3局的结果只有1个所以，P（中国队连胜三局）18答：在俄罗斯队2：0领先的情况下，中国队夺得金牌的概率是18。说明：实际比赛结果，中国队夺得了金牌。可见，概率很小的事件也可能发生，概率很大的事件也可能不发生。注意：解这类题的关键，在于审题，即：把题意弄清楚，究竟什么条件要解决什么问题，才能根据所学知识，完成题目要求。例4.某商场为促销商品，每期发行1000张编号为000~999的购物奖券，当奖券发完后，从0~9中分别摇出三个数字组成一个中奖号。奖券号码与中奖号相同时，为一等奖；仅后两位号码相同时，为二等奖；仅最后一位号码相同时，为三等奖。（1）小华购物得到3张奖券，求他中一等奖的概率；（2）小明购物得到1张奖券，求他中二等奖的概率；（3）求得到1张奖券的中奖概率。分析：只需确定所有可能中奖的号码个数和其中各种奖的号码个数。1000张奖券，每张都可能中奖，有1000个号码，一等奖只有1个号码，比如258；那么，二等奖的中奖号就是x58（其中“x”可能是除2以外的9个数字），有9个号码；三等奖的中奖号就是xy8（其中“y”可能是除5以外的9个数字，而这时的x可能是0~9中的10个数字），则有9×10=90个号码；所有中奖的号码共有100个。解：所有可能中奖的号码有1000个，其中，中一等奖的号码有1个；中二等奖的号码有9个；中三等奖的号码有90个。所有中奖的号码共有100个。每个号码中奖的可能性都相等。（1）小华得到3张奖券，有3个可能中一等奖的机会。所以，P（小华中一等奖）31000；（2）小明得到1张奖券，有9个可能中二等奖的机会。所以，P（小明中二等奖）91000；（3）得到1张奖券，有100个可能中奖的机会。所以，P（得到1张奖券中奖）1001000110答：小华中一等奖的概率是31000；小明中二等奖的概率是91000；得到1张奖券中奖的概率是110。说明：要加强对问题的理解，小华在什么情况下才能得一等奖、二等奖、三等奖，为分析理解方便起见，借助于设未知数x、y也是我们解题的常用方法。【考点突破】【考点指要】概率知识是近几年特别是课改之后新添的内容，因此对学生要求不高，在中考试题中一般以小题的形式出现，约占4分左右。【典型例题分析】例1.（1）（05年临沂中考·课改卷）（4分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是（）A.18B.13C.38D.35（2）（05年深圳中考·课改卷）（4分）中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）。某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）A.14B.15C.16D.320分析：类似计算概率的题目，实质上就是各相关对象与总个数的比值。（1）中是取出黄球概率就是黄球的个数与总个数的比值，即P（取到黄球）=38，选C。（2）第三次翻牌时，百宝箱中还剩下18个商标牌，其中3个商标牌背面注明一定的奖金额。P（第三次翻牌得到奖金）=31816。故选C。答案：（1）C（2）C评析：这是一道直接应用求概率公式的计算题，只有弄懂公式的意义，并不很难，因此鼓励学生学好概率。例2.（05年大连中考试题）（5分）有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。（1）这个游戏是否公平？请说明理由；（2）如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏。分析：游戏是否公平，要看规则规定事件发生的概率是否相等，这也是设计公平游戏的基础。答案：（1）不公平。因为抛掷两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反。所以出现两个正面的概率为14，出现一正一反（或一反一正）的概率为2412。因为二者概率不等，所以游戏不公平。（2）游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反（或一反一正），则乙赢。游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，则甲、乙都不赢。评析：解概率题，首先要概念清楚，明白题目要求才能应用所学知识加以解题，这类题学生接触少，这也是造成难点的原因。例3.（沈阳中考·课改卷）如图所示是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A、B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，6，8，装置B上的数字分别是4，5，7，这两个装置除了表面数字不同外，其他构造完全相同。现在你和另外一个人分别同时用力转动A、B两个转盘中的箭头，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重新转动一次，直到箭头停留在某一数字为止），那么你会选择哪个装置呢？请借助列表法或树形图法说明理由。AB518647分析：本题考查用分析法求事件发生的概率，选择哪个装置关键是求出停止后前一个数字大于后一个数字的概率及后一个数字大于前一个数字概率，若前者大于后者，选A装置，否则选B装置。答案：选择A装置。解法1：画树形图，如图：开始168457457457（1,4）（1,5）（1,7）（6,4）（6,5）（6,7）（8,4）（8,5）（8,7）∴PAPB()()5949，∵P(A)P(B)，∴选择A装置。解法2：BA4571（1，4）（1，5）（1，7）6（6，4）（6，5）（6，7）8（8，4）（8，5）（8，7）PAPBPAPBA()()()()5949，∵，∴选择装置。评析：这题采用了两种方法对概率进行了分析，不论是画“树形”图还是列表求概率，学生都应该掌握，展示求概率的过程正是培养训练学生思维的极好过程。例4.（05年南通中考·课改卷）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼出房子或小山时，季红得1分。（如图）电灯小人房子小山问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？分析：游戏是否公平，关键看试验很多次后，两人平均每次试验所得分数是否相同，相等，则公平；不相等，则不公平。而要使不公平游戏变为公平游戏，可有两种方法：一种是修改游戏规则，使每一次游戏两人得分相同；另一种是修改游戏工具，即选择或设计使每次游戏两人得分相同的工具。解：用1代表圆，2代表长方形，3、4、5分别代表三个三角形，画出如图所示的树形图。第1张12345第2张23451345124512351234∴PP（拼成电灯）；（拼成小人）310110；P（拼成房子）310；P（拼成小山）=310∴杨华平均每次得分为31011101410（分）；季红平均每次得分为31013101610（分）。∵410610，∴游戏对双方不公平。（2）改为：与拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平。评析：设计游戏得分规则时，又要计算出双方的概率，如双方获胜概率为nmnm1122，。设其获胜的得分分别为a、b，得分规则只需满足nmanmb1122，则游戏公平。【综合测试】一.选择题：1.一颗骰子，六个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6，投掷一次，向上的面出现的点数是6的概率是（）A.13B.14C.15D.162.十字路口的交通信号灯每分红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你在路口抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（）A.112B.13C.512D.123.五张分别标有1，2，3，4，5的卡片，除数字外没有其他任何区别，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上的数字为奇数的概率是（）A.15B.25C.35D.454.在100张奖券中，有4张一等奖，20张二等奖，40张三等奖，某人从中任抽出一张，则他中奖的概率是（）A.125B.15C.25D.162