2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想转化与化归思想

分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例1.若一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为()A.x＋y－7＝0B.2x－5y＝0C.x＋y－7＝0或2x－5y＝0D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0答案C解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为xa＋ya＝1，求得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.例2.已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为()A.8B.10C.16D.32答案D解析当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因为Sn＝2an－2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，则S5－S4＝a5＝25＝32.例3.已知集合A＝－1，12，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是()A.{0，－1，2}B.－12，0，1C.{－1，2}D.－1，0，12答案A解析因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；若B≠∅，则－m－1＝0或12m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.故选A.例4.设函数f(x)＝2，－1x0，ex－1，x≥0.若f(1)＋f(a)＝2，则实数a的所有可能取值的集合是________.答案－22，1题型二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.例5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.833B.43C.239D.43或833答案D解析当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833.例6.已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A.－12B.12C.0D.0或－12答案D解析不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足.结合图形可知斜率k的值为0或－12.例7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率为________.答案12或32解析不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t6t＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t2t＝32.综上，曲线C的离心率为12或32.例8.抛物线y2＝4px(p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________.答案4解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝－2＋y2，若－2＋y2＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.例9.已知实数a，x，a0且a≠1，则“ax1”的充要条件为()A.0a1，x0B.a1，x0C.(a－1)x0D.x≠0答案C解析由ax1知，axa0，当0a1时，x0；当a1时，x0.故“ax1”的充要条件为“(a－1)x0”.例10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案B例11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)0和g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围为()A.(7，＋∞)B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案A解析由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)0，所以Δ＝a2－4(a＋3)0，解得a－2或a6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2，0)，故当a6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.由函数的图象知，当a6时，若g(x0)0，则x02，∴要使f(x0)0，则需a6，，解得a7.当a－2时，若g(x0)0，则x02，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝a2－1，故函数f(x)在区间a2，＋∞上为增函数，又f(1)＝4，∴f(x0)0不成立.综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).题型四、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.例1.据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|am＜bm，m＝1，2，…，n}，若M中元素个数大于34n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A＜B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是()A.若A＜B，B＜C，则A＜CB.若A＜B，B＜C同时不成立，则A＜C不成立C.A＜B，B＜A可同时不成立D.A＜B，B＜A可同时成立答案C解析特例法：例如蔬菜A连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B连续10天价格分别为10，9，…，1时，A＜B，B＜A同时不成立，故选C.例2.过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则1p＋1q等于()A.2aB.12aC.4aD.4a答案C解析抛物线y＝ax2(a0)的标准方程为x2＝1ay(a0)，焦点F0，14a.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a，∴1p＋1q＝4a.例3.已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－1]B.[12，＋∞)C.[－1，12]D.－32，12答案D解析当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A，B；当a＝－32时，函数f(x)＝32x3－92x，f′(x)＝92x2－92＝92(x2－1)，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上为减函数，所以f(x)min＝f(1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.例4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.答案45解析令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cosA＝cosC＝12，代入所求式子，得cosA＋cosC1＋cosAcosC＝12＋121＋12×12＝45.五、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.例5.由命题“存在x0∈R，使0|1|ex－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是()A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2答案C解析命题“存在x0∈R，使0|1|ex－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.例6.如图所示，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝234，PB＝AC＝10，PC＝AB＝241，则三棱锥P－ABC的体积为()A.40B.80C.160D.240答案C解析因为三棱锥P－ABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，可知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得x2＋y2＝100，x2＋z2＝136，y2＋z2＝164，解得x＝6，y＝8，z＝10.从而知VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.例7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px4x＋p－3成立的x的取值范围是________________.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f(p)在[0，4]上恒为正等价于，，即－－，x2－10，解得x3或x－1.例8.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么y＋3x－1的取值范围是________.答案43，＋∞解析设k＝y＋3x－1，则y表示点P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在.由圆心C(2，0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离|2k－＋k2＋1＝r＝1，解得k＝43，所以y＋3x－1的取值范围是43，＋∞.题型六、函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.例9.已知函数f(x)＝lgx＋ax－2，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是________.答案(2，＋∞)解析根据题意，得x＋ax－21在[2，＋∞)上恒成立，即a－x2＋3x在[2，＋∞)上恒成立，又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2，所以a2.