2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题25解题规范与评分细则

解题规范与评分细则解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．题型一三角函数及解三角形例1、[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；2．对f(p)求导，令f′(p)＝0求极值，得2分．3．利用导数的知识，判断出极值为最值点，求出最大值，得2分．4．由题意判断出Y服从二项分布，求EX，得4分．5．求出总费用，再与EX比较，得结论，得2分．【名师点拨】1．正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(2)问就是利用二项分布求出EX.2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问求出p＝0.1，第二问直接用．3．注意规范答题：解题时要写准每一小题的解题过程，尤其是解题得分点要准确、规范，需要文字表达的，不要惜墨，但也不能过于啰嗦，恰到位置就好，本题就需要用文字表达，准确说明是解题关键．【变式探究】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】(Ⅰ)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(Ⅱ)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)＝PABPA＝0.10＋0.050.55＝311.(Ⅲ)设本年度所交保费为随机变量X.X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费E(X)＝0.85a×0.30＋0.15a＋1.25a×0.20＋1.5a×0．20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝0.255a＋0.15a＋0.25a＋0.3a＋0.175a＋0.1a＝1.23a，所以平均保费与基本保费比值为1.23.【评分细则】1．利用互斥事件概率加法公式求出“高于基本保费的概率”，3分．2．求出保费比基本保费高出60%的概率，3分．3．列对随机变量分布列，2分．4．利用数学期望公式求对平均保费，3分．5．写对平均保费与基本保费的比值，1分．题型四立体几何例4、[2018·全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF→的方向为y轴正方向，|BF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝3.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝32，EH＝32.则H(0,0,0)，P0，0，32，D－1，－32，0，DP→＝1，32，32，HP→＝0，0，32.又HP→为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝HP→·DP→|HP→||DP→|＝343＝34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.【命题意图】本题主要考查平面与平面的垂直关系及线面角，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解题思路】(1)欲证平面PEF⊥平面ABFD，只需证明BF⊥平面PEF，只需在平面PEF内寻找两条相交直线与直线BF垂直；(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABFD的法向量与直线DP的方向向量，利用线面所成角的向量公式，即可得DP与平面ABFD所成角的正弦值．【评分细则】1．利用线面垂直的判定定理证明BF⊥平面PEF,2分．2．利用面面垂直的判定定理证明结论，2分．3．由题意建立空间直角坐标系，2分．4．利用勾股定理，证明PE⊥PF,2分．5.HP→为平面ABFD的法向量，2分．6．利用向量求出线面角，2分．【名师点拨】1．写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的AB⊥AP，AB⊥PD，AP∩PD＝P；第(2)问中的建系及各点坐标，两平面法向量的坐标．2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，立体几何解答题的第(2)问建系，要用到第(1)问中的垂直关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系．3．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分．所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断AB⊥平面PAD的三个条件，写不全则不能得全分，如PF∩EF＝F一定要有，否则要扣1分．【变式探究】[2017·全国卷Ⅰ]如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．【解析】(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，AP∩PO＝P，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则n·PC→＝0，n·CB→＝0，即－22x1＋y1－22z1＝0，2x1＝0.所以可取n＝(0，－1，－2).设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则m·PA→＝0，m·AB→＝0，即22x2－22z2＝0，y2＝0.可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝－33.所以二面角A－PB－C的余弦值为－33.【评分细则】1．利用线面垂直的判定定理，3分．2．利用面面垂直的判定定理，1分．3．建系得各点坐标，2分．4．求出法向量n,2分．5.求出法向量m,2分6．利用公式求出二面角的余弦值，2分．题型五解析几何例5、[2018·全国卷Ⅰ]设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.【解析】(1)解：由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为1，22或1，－22.又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－22x＋2或y＝22x－2.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12，x22，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝y1x1－2＋y2x2－2.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝2kx1x2－3kx1＋x＋4kx1－x2－.将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1.则2kx1x1－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－12k3＋8k3＋4k2k2＋1＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、直线与椭圆的位置关系、证明等角，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解题思路】(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝1，将l的方程与椭圆方程联立可得点A的坐标，进而可得直线AM的方程．(2)当l与x轴垂直或l与x轴重合时，易证．当l与x轴不重合也不垂直时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)，交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可以联立l与C的方程并消去y，把x1＋x2，x1x2用k表示，利用直线的斜率公式，将证明∠OMA＝∠OMB转化为证明kMA＋kMB＝0即可．【评分细则】1．先求出A点坐标，得2分．2．求出直线AM的方程，得2分．3．当l与x轴垂直时求证，得2分．4．先用k表示kMA＋kMB的值，得2分．5．联立l与C的方程，求出x1＋x2，x1x2，再求kMA＋kMB＝0，得3分．6．利用倾斜角互补，得证，得1分．【名师点拨】【方法技巧】破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出大致图形，把已知条件翻译到图形中，利用直线方程的点斜式或两点式，即可快速表示出直线方程；二是“转化”桥梁，即会把要证的两角相等，根据图形的特征，转化为斜率之间的关系，再把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，以及斜率公式即可证得结论．【变式探究】[2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(－1，32)，P4(1，32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22，t，－4－t22.则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋m－x1＋x2x1x2.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.解得k＝－m＋12.当且仅当m＞－1时，Δ＞0，于是l：y＝－m＋12x＋m，即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1).【评分细则】1．利用椭圆的性质排除P1,1分．2．由已知列出关于a2，b2的方程，求出椭圆方程，4分．3．当k不存在时，求t，判断与题不符，2分．4