中考压轴题几何模型30讲专题21等腰三角形的存在性

专题21《等腰三角形的存在性》破解策略以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）．解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题．（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．例题讲解例1如图，正方形ABCD的边长是16，点E在AB边上，AE＝3，F是BC边上不与B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′＝．解16或45①如图1，当CB′＝CD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去；②如图2，当DB′＝CD时，DB′＝16；③如图3，当DB′＝B′C时，过点B作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H．显然G，H分别为AB，CD的中点．由题意可得B′E＝13，DH＝BG＝8，所以EG＝5，从而B′G＝22BEEG′－＝12，B′H＝4，所以DB′＝22BHDH－＝45．AB图1ABCD图2ABCDEFB′②如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．图2③如图3所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°．图3当B′C＝B′D时，AG＝DH＝12DC＝8．由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG－AE＝8－3＝5，∴B′G＝22'12BEEG，∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4，∴DB′＝22'45BHDH例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方图1ABCDEB′(F)向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解：如图，过点P作PH⊥AC于H，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴PHBC＝APAB，∵AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，∴3PH＝5tt∴PH＝3﹣35t，AH＝4(5)5t∴QH＝945t，PQ＝2229318(4)(3)1825555tttt在△APQ中，①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝52；②当PQ＝AQ，即21818255tt＝t时，解得：t2＝2513，t3＝5；③当PQ＝AP，即21818255tt＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝4013；∵0＜t＜4，∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，∴当t为52s或2513s或4013s时，△APQ是等腰三角形．例3如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝1，OC＝2，点D在边OC上且OD＝54．（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设直线AC的解析式y＝kx＋b，又∵OA＝1，OC＝2，∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k＝12，b＝1直线AC的函数解析式：y＝112x（2）若DC为底边，∴M的横坐标为5242＝138，则点M的坐标为（138，316）∴直线DM解析式为：y＝1528x∴P（0，58）；若DM为底，则CD＝CM＝34，∴AM＝AN＝354，∴N（354，1），可求得直线DM的解析式为y＝（5＋2）x－54（5+2），∴P（0，－54（5+2））若CM为底，则CD＝DM＝34∴点M的坐标为（45，35）∴直线DM的解析式为y＝－43x＋53，∴点P的坐标为（0，53）综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，58），（0，－54（5+2）），（0，53）例4已知抛物线y＝－x2＋mx－n的对称轴为x＝－2，且与x轴只有一个交点．（1）求m，n的值；（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝－2，∴m＝－4．∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2－4n＝0．从而n＝4．HDOyxBP（2）原抛物线的表达式为y＝－x2－4x－4＝－（x＋2）2．所以抛物线C的表达式为y＝x2－1．（3）假设点D存在，设点D的坐标为（d，d2－1）．如图，作DH⊥y轴于点H，则DH2＝d2，BH2＝（d2－2）2．若△BPD是等边三角形，则有=3DHBH，即d2＝3（d2－2）2，解得d＝3或d＝233．所以满足条件的点D存在，分别为D1（3，2），D2（－3，2），D3（233，13），D4（－233，13）．例5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2－3x－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E（3，－4），连结CE，若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．ElCBxyODA解由抛物线y＝12x2－3x－8＝12（x－8）（x＋2），可得点A，B，C的坐标分别为（－2，0），（8，0）（0，－8）．所以CE＝22(30)(48)－－＝5＝OE，QADOyxBClE所以△OEC是顶角为钝角的等腰三角形，即∠OEC＞90°，△OPQ曲等腰三角形有三种可能：①当PO＝PQ时，即∠OPQ为顶角，显然∠POQ＝∠COE，所以∠OPQ＝∠OEC＞90°，由题意可知这种可能性不存在；②当OP＝OQ时，则∠OPQ＝∠OQP．如图1，过点E作PQ的平行线，分别交x轴，y轴于点F，G，则∠OGE＝∠OPQ＝∠OQP＝∠OEG，所以OG＝OE＝5，即点G的坐标为（0，－5），所以直线GE的表达式为y＝13x－5，所以点F的坐标为（5，0）．而OPOBOGOF，所以8515m－，即83m－；ADOyxBClE③当QO＝QP时，则∠QPO＝∠QOP＝∠OCE，所以CE∥PQ，如图2，设直线CE与x轴交于点H．由C，E两点的坐标可得直线CE的表达式为，y＝43x－8．所以点H的坐标为（6，0）．OCOHOPOB，所以868m－，即323m－．综上可得，当m的值为83－或323－时，△OPQ是等腰三角形．进阶训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为t，若△DMN是等腰三角形，求t的值．ABCDMN【答案】t＝5，6或365时，△DMN是等腰三角形．2．设二次函数y＝x2＋2ax＋22a（a＜0）的图象顶点为A，与x轴的交点为B，C．（1）当△ABC为等边三角形时，求a的值，（2）当△ABC为等腰直角三角形时，求a的值．【答案】（1）a＝－6；（2）a＝－23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（0，2），E为线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），以E为顶点作∠OFT＝45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC＝AB．抛物线y＝2－x2＋mx＋n经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF＝∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标．【答案】（1）y＝－2x2－2x＋22；（2）略；（3）点E的坐标为（－1，1），（－2，2－2）．【提示】（2）由∠BAO＝∠FEO＝∠ABO＝45°即可证；（3）分类讨论：①当OE＝OF时，点E与点A重合，不符合题意；②点EO＝EF时（如图1），易证△AFO≌△BFE，从而BE＝AC＝2，再过点E作EH⊥y轴，即可求得点E（－2，2－2）；③当FE＝FD时（如图2），此时△BFE和△OFE均为等腰直角三角形，求得点E（－1，1）．FCBxyOTEHETOyxBCFETOyxBCF4．如图，抛物线y＝ax2－6x＋c与x轴交于点A（－5，0），B（－1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，连结PA，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，请问：△APD能否为等腰三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】△APD能为等腰三角形，点P的坐标为（－2，3），（－1，0），（－2，62－7），或（2，－62－7）．【提示】由点A，B的坐标可得抛物线的表达式为y＝ax2－6x－5．从而得到C（0，－5）．所以直线AC：y＝－x－5．可设点P（m，－m2－6m－5），则D（m，－m－5）．△APD为等腰三角形有三种情况，由∠ADP＝45°或135°．用代几结合解决问题．①当AP＝AD时，∠FAD＝90°，得P（一2，3）；②当AP＝PD时，∠APD＝90°，得P（1，0）；③当AD＝PD时，可列方程2525mmm，从而m＝2，得P（－2，62－7），或（2，－62－7）．5．如图，抛物线y＝ax2＋2x－3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（1，0）．直线y＝23x－49分别与x轴，y轴交于C，F两点．Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF干点D．点E在线段CD的延长线上，连结QE，问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．xyEQODCBA【答案】存在，以QD为腰的等腰△QDE的面积最大值为5413【提示】有题意可得抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3，点C（23，0），F（0，－49），从而tan∠EDQ＝tan∠OFC＝32，如图，作QG⊥CE于点G，设DQ＝t，则QG＝31313t，DG＝21313t，若DQ＝DE，则DE＝2DG，从而△QDE的面积为S＝12DE·QG＝613t2显然613t2＞31326t2所以当DQ＝EQ时，S取最大值．设点Q（x，x2＋2x－3），则t＝QD＝－x2－43x＋239，可得t＝3时，Smax＝5413ADOyxBCP