中考必会几何模型截长补短辅助线模型

截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB＝AC＋CD.证法一，截长法：如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED，∴CD＝DE，∠C＝∠3.∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B，∴∠4＝∠B，∴DE＝BE，∴CD＝BE.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD.证法二，补短法：如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE.∵CE＝CD，∴∠4＝∠E.∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E.∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B.∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.又∵AE＝AC＋CE，∴∴AB＝AC＋CD.例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD.求证：AO＋BO＝2CO.证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE.∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠CED.∵∠A＝∠GBD，∴∠CED＝∠GBD，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD，∴∠OED＝∠OBD.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD.∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD，∴OB＝OE，∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO.跟踪练习1.如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD.求∠ABC的度数.【答案】证法一：补短延长AB到点E，使BE＝BD.在△BDE中，∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E.又∵AC＝AB＋BD，∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE.∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600，∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300.∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C.∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C.∵∠BAC＝600，∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，∴32∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800.证法二：在AC上取一点F，使AF＝AB，连接DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠FAD.∵AD＝AD，∴△BAD≌△FAD，∴∠B＝∠AFD，BD＝FD.∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC∴FD＝FC，∴∠FDC＝∠C.∵∠AFD＝∠FDC＋∠C，∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800，∴32∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800.2.如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证：AC＝AE＋CD.【答案】如图，在AC边上取点F，使AE＝AF，连接OF.∵∠ABC＝600，∴∠BAC＋∠ACB＝1800－∠ABC＝1200.∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC＝∠OAB＝2BACÐ，∠OCA＝∠OCB＝2ACBÐ，∴∠AOE＝∠COD＝∠OAC＋∠OCA＝2BACACB??＝600，∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200.∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF＝∠AOE＝600，∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，∴∠COF＝∠COD.∵CO＝CO，CE平分∠ACB，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF.∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，3.如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB.求证：AB＋CD＝BC.【答案】证法一：截长如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF.∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4.∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900.∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6.∵CE＝CE，∠2＝∠DCE，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD.∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF.∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF.∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线.∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD.∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD.∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD.4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E.求证：AC－AB＝2BE.【答案】延长BE交AC于点M.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.∵BE⊥AE，∴BM＝2BE.∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE.5.如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E.求证：AD＝2DF＋CE.【答案】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG.∵CE⊥AD，∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2.∵AC＝BC，AG＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450.∵∠2＝∠1＝12∠BAC＝22.50，∴∠4＝450－∠2＝22.50，∴∠4＝∠2＝22.50.又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF.∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF.6.如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE.【答案】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC.∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E.∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD.∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD.又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴∠F＝∠3.∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠CDE.