初三自主招生拓展内容教学案1圆的方程拓展

第1页圆的方程知识梳理：【圆的方程】⑴圆的标准方程：222xaybr。⑵圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF））；【点与圆的位置关系】已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。【直线与圆的位置关系】直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。【两圆位置关系的判定方法】设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd条公切线外切321rrd条公切线相交22121rrdrr条公切线内切121rrd无公切线内含210rrd第2页外离外切相交内切内含【公共弦直线方程】圆011122FyExDyx与圆022222FyExDyx的公共弦所在直线方程0)()()(212121FFEExDD【圆的切线与弦长】(1)切线：①过圆222xyR上一点00(,)Pxy圆的切线方程是：200xxyyR，过圆222()()xaybR上点00(,)Pxy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，（2）弦长问题：常用弦心距d，弦长一半12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；【圆的方程】1、过点(0,0)O，(1,0)A，(0,1)B三点的圆的方程为___________答案：2、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______答案：131||a3、方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；答案：21k4、过点(1,1),(1,1)AB且圆心在直线20xy上的圆的方程是_____________答案：【切线和弦问题】第3页5、与圆22(2)1xy相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有___________．答案：6．已知两圆2210xy和22(1)(3)14xy相交于,AB两点，则直线AB的方程是_____________，线段AB的垂直平分线方程是______________答案：7、若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．答案：x－2)2＋(y－1)2＝1解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴|4x0－3|42＋(－3)2＝1，解得x0＝2或x0＝－12(舍)，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________．答案：206.解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝252－12＝46，四边形ABCD的面积为206.9、一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程分析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为222(3)()9xbybb又因为直线y=x截圆得弦长为27，则有2|3|()2bb+2(7)=9b2，解得b=±1故所求圆方程为22(3)(1)9xy或22(3)(1)9xy【对称问题】10、已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝1解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴b－1a＋1＝－1，a－12－b＋12－1＝0，解得a＝2，b＝－2，圆C2的半径为11，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.11．圆422yx上与直线01234yx距离最近的点的坐标是_________________答案：12、已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，则a＝第4页________，b＝________.答案：a＝－1，b＝1解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心(－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.【直线与圆相交问题】13、若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．答案：1k2.解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝k2－1，若圆与两坐标无共点，即k2－1|k|k2－11，解得1k2.14、圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是________．答案：c＝－3解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的22倍．由于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝22×5－c，解得c＝－3.【综合问题】15、如果实数,xy满足等式3)2(22yx，那么xy的最大值是__________16、两圆交于点(1,3)A、(,1)Bm，两圆的圆心均在直线0xyc上，则________,m_________c17、曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．答案：(x－12)2＋(y＋12)2＝12解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x－12)2＋(y＋12)2＝12.18、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切;（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切.其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.答案：（B）（D）.第5页解析：圆心坐标为（－cos，sin）d＝222|kcossin|1k|sin|1k1k|sin|1－－＋（＋）＝＋＋＝（＋）19、若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___．答案：π解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝12，又OA＝a2＋b2，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.20、设实数x、y满足x2＋(y－1)2＝1，若对满足条件的x、y，不等式yx－3＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．答案：c≥34.解析：由题意，知－c≤yx－3恒成立，又yx－3＝y－0x－3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c≤－34，即c的取值范围是c≥34.21、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20lxy的距离为55，求该圆的方程．答案：设圆心为(,)ab，半径为r，由条件①：221ra，由条件②：222rb，从而有：2221ba．由条件③：|2|5|2|155abab，解方程组2221|2|1baab可得：11ab或11ab，所以2222rb．故所求圆的方程是22(1)(1)2xy或22(1)(1)2xy．