初三自主招生拓展内容教学案7数列拓展

第1页数列知识梳理：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项.若mnpq,则mnpqaaaa.等差数列通项公式：dnaan)1(1等差数列递推公式：dmnadaamnn)(1等差数列前n项和:一般地，我们称123naaaaL为数列na的前n项和，用nS表示，即123nnSaaaaL=dnnnanaan2)1(211.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q表示0q，即：10nnaqqa.等比中项：由三个数a，A，b组成的等比数列可以看成最简单的等比数列，这时，A叫做a与b的等比中项.若mnpq,则qpnmaaaa.等比数列通项公式：11nnqaa等比数列递推公式：mnmnnqaqaa1等比数列前n项和：一般地，我们称123naaaaL为数列na的前n项和，用nS表示，即123nnSaaaaL=qqan111.常见通项公式求法：1，利用前n项和：)2(,)1(,11nSSnSannn第2页2，累加法：)(1nfaann4，构造法：qpaann1)()(1kapkann5，取倒法：nnnnnapkpqakqapaa11116，含指数形式：nnnnnnnnpqppapaqpaa1111常见数列求和法：1，利用等比等差公式求和：2，拆项分组求和：若nnnbah，na前n项和为nS，nb前n项和为nT，则nh前n项和为nnTS。3，错位相减求和：111211aqaqqaaSnn113121aqaqaqqaqSnn1)1(1qaqSnn4，裂项相消求和：111)1(1nnnn5，倒序相加求和：)(211221nnnnnnaanSaaaSaaaS例题精讲：例1：己知一个等差数列na前10项的和是10310S，前20项的和是201220S.求这个等差数列的前n项和第3页nS的公式。例2：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足56SS+15=0。（1）若5S=5，求6S及a1；（2）求d的取值范围。例3：已知nS为等差数列na的前n项和，)(,mnnSmSmn，求nmS。例4：已知nS为等比数列na的前n项和，364,243,362nSaa，求n的值。例5：已知数列na和nb满足：1a，4321naann，)213()1(nabnnn，其中为实数，Nn.（1）对任意实数，证明数列na不是等比数列；（2）试判断数列nb是否为等比数列，并证明你的结论.第4页例6：已知1322nnSn为数列na的前n项和，求数列na的通项公式例7：已知数列}{na满足：nnnaaa21,2111且.（1）求432,aaa，;（2）求数列}{na的通项na.例8：已知数列na中，)(0)1()2(,211Nnananann，求数列na的通项公式.第5页例9：已知数列na中，232,111nnaaa，求数列na的通项公式例10：已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na。例11：已知数列na中，nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.例12：等差数列na中，公差21d，且6099531aaaa，则100321aaaa.例13：求数列11111,2,3,,(),2482nn的前n项和。第6页例14：若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.例15：求和：)1(1431321211nn.第7页同步练习：练习1：已知数列na为等差数列它的前n项和为nS，1234aaa，34510aaa，求nS.练习2：设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若S3=3，S6=24，求9a。练习3：设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba练习4：已知nS为等比数列na前n项和，93nS，48na，公比2q，求n的值。第8页练习5：已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．证明：数列1{1}na是等比数列练习6：已知12nnS为数列na的前n项和，求数列na的通项公式练习7：已知数列61a，121nnaan求此数列的一个通项。练习8：已知nS为数列na的前n项和，11a，nnanS2，求数列na的通项公式.第9页练习9：已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.练习10：在数列{}na中，121nnnaaa，11a，求通项公式练习11：设数列与满足：对任意，都有，．其中为数列的前项和．（1）当时，求数列与的通项公式；（2）当时，求数列的前项和．第10页练习12：已知nS为等比数列na的前n项和，公比7,299Sq，则99963aaaa；练习13：求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…练习14：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.练习15：求和：)13)(23(11071741411nn第11页参考答案例1：答案：nnSn23解析：由题意，可知10310S，201220S将它们代入公式112nnnSnad得11104531020190220adad，解得146ad.所以，21463.2nnnSnnn这就是说，已知10S与20S可以确定这个等差数列的前n项和的公式，这个公式是23.nSnn例2：答案：(1)36S，71a第12页(2)22d或22d解析：(1)由题意知S6=3155S,8566ssa，所以115105,58.adad解得a1=7，所以S6=-3,a1=7.(2)方法一：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.[故d的取值范围为d≤-22或d≥22.方法二：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.看成关于1a的一元二次方程，因为有根，所以222818(101)80ddd，解得22d或22d。例3：答案：nm解析：令BnAnSn2，则nmmnBmnAnBmAmmBnAn)()(2222.因为mn，1)(BmnA，)()()(2nmnmBnmASnm；例4：答案：6解析：3,12433151612qaqaaqaa或3,11qa，当3,11qa时，636431)31(1nSnn；当3,11qa时，nSnn36431)3(11无整数解例5：答案：（1）不是等比数列（2）分类讨论解析：（1）证明：假设存在一个实数，使na是等比数列，则有3122aaa，即,094949494)494()332(222矛盾.第13页所以na不是等比数列.（2）解：因为21)1(3)1()213()1(11nanabnnnnn)14232()1(183)1(111nanannnnnnnbna32)213()1(321又)18(11b，所以当)(0,18Nnbn，此时nb不是等比数列；当)8(,181b时，由上可知)(32,01Nnbbbnnn，此时nb是等比数列.例6：答案：)2(14)1(4nnnan解析：当1n时，411312211Sa，当2n时，1)1(3)1(2)132(221nnnnSSannn14n.而1n时，15114a，)2(14)1(4nnnan.例7：答案：（1）234a，278a，31516a(2)nna211解析：（1）234a，278a，31516a（2）第14页213243121114181161212nnnnnnaaaaaaaaaaL全部相加，可得1111111114816222nnnnaaL例8：答案：14nan解析：由0)1()2(1nnanan得，211nnaann1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn14232431211nnnnnnn.例9：答案：6)32(71nna解析：)6(32623211nnnnaaaa，6)32(71nna例10：答案：342nan解析：取倒数：2111nnaa2111nnaa.3422322)1(111nannaann例11：答案：nnna23解析：nnnaa321，nnnnnaa)23(2211，令nnnba12则nnnbb)23(1，第15页112211)()()(bbbbbbbbnnnnn123)23()23()23()23(2321nnn2)23(2nnnna23例12：答案：150解析：21d，且6099531aaaa，)()()(531100642dadadaaaaa例13：解析：231111123()24821111(123)()222211(1)122nnnnSnnnn例14：答案：nS33)1(1nn解析：nnnS3)12(35333132，①14323)12(3533313nnnS②①-②，得14323)12(32323232312nnnnS14323)12()3333(231nnn63)22(1nn.nS33)1(1nn.例15：答案：原式=1nn解析：111)1(1nnnn原式)111()4131()3121()211(nn111n1nn.第16页练习1：答案：nnSn61-212解析：由题意，可知1234aaa，34510aaa可得1111112423410aadadadadad整理得113343910adad，解得1131ad将它们代入公式112nnnSnad得21111.3226nnnnS