初三自主招生教学案16同余问题

第1页同余问题知识梳理：设m是正整数，若用m去除整数,ab，所得的余数相同，则称为a与b的关于模m同余，记作(mod)abm，否则，称为a与b的关于模m不同余。同余有以下性质：（1）(mod)abm，等价于|()mab（2）(mod)aam（3）若(mod)abm，则(mod)bam（4）若(mod),(mod)abmbcm，则(mod)acm（5）若(mod),(mod)abmcdm，则(mod)acbdm（6）若(mod),(mod)abmcdm，则(mod)acbdm（7）若(mod),(,)1acbcmcm，则有(mod)abm例题精讲：例1：求被3除余1，被4除余2，被5除余3的最小的自然数。例2：今天是星期六，如果今天算是第一天，问第20002000天是星期几？例3：数1978n与1978m的末两位数相等，试求：整数m和n，使得nm取最小值，这里1nm。例4：求使21n为7的倍数的所有正整数n。例5：计算由1到910的每一个数的数字之和，得到910个新数，再求每一个新数的数字之和；这样一直进行下去，直到都是一位数为止。那么，最后得到的数中是1多，还是2多？第2页同步练习：练习1：一长阶梯，每步跨2阶，最后剩下1阶；每步跨3阶，剩下2阶；每步跨5阶，剩下4阶；每步跨6阶，剩下5阶；每步跨7阶，刚好走完.问最少一共有多少阶？练习2：证明：任意平方数除以4余数为0和1.练习3：当44444444写成十进制数时，它的各位数字之和是A，而B是A的各位数字之和，求B的各位数字之和（所有的数都是十进制数）。练习4：是否存在m个不全相等的正数12(7)maaam，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值，若不存在，说明理由.第3页参考答案例1：答案：58解析：设该数为n，则3|(2),4|(2),5|(2)nnn。所以2n最小为60，n的最小值是58.例2：答案：星期二解析：因为651(mod7)，所以2000200063332220005(5)554(mod7)第20002000天是星期二。例3：答案：24解析：由已知19781078(mod100),100425nm，所以19781078(mod4)nm①19781078(mod25)nm②因1nm，且(1978,25)1m，则由②式知19781(mod25)nm③又直接验证知，1978的各次方幂的个位数字是以8、4、2、6循环出现的，所以只有nm为4的倍数时，③式才能成立，因而令4nmk。由于()242nmnmmkm，所以只需确定k和m的最小值。先确定k的最小值：44441978(79253)36(mod25),197819786(mod25)nmkk。因为12615(6661)5(mod25)kkkk，所以，使③式成立的k的最小值为5.再确定m的最小值：19782(mod4)，由①式知，22(mod4)nm④由于1nm，④式对1m不成立，所以m得最小值为2.故符合题设条件的nm的最小值为24.例4：答案：当且仅当3|n时，21n为7的倍数。解析：因为3281(mod7)，所以对n按模3进行分类讨论。（1）若3nk，则321(2)181110(mod7)nkkk；（2）若31nk，则3212(2)12812111(mod7)nkkk（3）若32nk，则23212(2)14814113(mod7)nkkk所以，当且仅当3|n时，21n为7的倍数。例5：答案：1多第4页一个正整数与其数字之和关于9是同余的，故最后所得的一位数为1者，是原数被9除余1的数，即1,10,19,,999999991及910。同理，最后所得一位数为2者，原数被9除余2，即2,11,20,,999999992。二者相比，余1者多一个数，因此，最后得到的一位数中以1为多。练习1：答案：119解析：设该数为n，则1|2n，1|3n，1|5n，1|6n，n|7。所以1n是30的倍数，n是7的倍数。所以n的各位数是9，且7×7=49，7×17=119=30×4－1，所以n的最小值是119.练习2：答案：证略解析：设奇数为21k，偶数为2k，则2222(21)4411(mod4)(2)40(mod4)kkkkk所以，21=（mod4）任意数0(mod4)即任意平方数除以4余数为0和1.练习3：答案：7解析：因为44444444的位数不超过4444417776，所以177760,15946AB，B的数字和4913C。由于一个数与它的数字和模9同余，所以4444444431481178144447(7)7177(mod9)CBA故7C，即B的各位数字之和是7.练习4：答案：0(mod6)m，7m解析：设1234567811,,,yxaxayaaaaaxayxxyy，，，，，，显然是一个周期为6的数列，(1)当0(mod6)m,1211001mmmxxyxaaayyaaaxxxyyy;(2)当1(mod6)m,12111mmmxyxaaaxyxxxaaay与不全相等矛盾；第5页(3)当2(mod6)m,12111mmmaaaxyyxyaaayxx与不全相等矛盾；(4)当3(mod6)m,12111mmmyxyaaaxxyaaayxyx与不全相等矛盾；(5)当4(mod6)m,1211111mmmxyaaaxxyaaayxxx与不全相等矛盾；(6)当5(mod6)m,12111111mmmxyaaayxyaaaxyx与不全相等矛盾；综上所述，当0(mod6)m，7m时，存在m个不全相等的正数12(7)maaam，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积.