初三自主招生教学案17整式

第1页整式知识梳理：1、余式定理：多项式xf除以ax所得的商式为xQ，余式为af，即afaxxQxf。2、因式定理：如果多项式xf含有因式ax，那么0af，反之亦然。我们称a为多项式xf的零点。3、乘法公式：（1）立方和公式：3322babababa（2）立方差公式：3322babababa（3）三数和平方公式：acbcabcbacba22222（4）两数和立方公式：3223333babbaaba（5）两数差立方公式：3223333babbaaba4、拆添项法：把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。5、试根法：整系数多项式01axaxann，若sr是它的有理根（sr、互素），那么s整除na，r整除0a。一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决（试根法使用于整系数多项式的因式分解）6、常见数学思想与方法：整体思想、降次法、消元法、待定系数法、赋值法等。除了常规的因式分解法，还有拆添项法、双十字相乘法、待定系数法、试根法等。例题精讲：例1：已知012aa，求2014223aa的值。例2：已知32()4538fxxxx,求()fx除以2()21gxxx的商式()Qx和余式()Rx。例3：若()fx除以23x的余数为4，试求多项式712xfx除以23x的余数。例4：若2x整除多项式8623kkxxx，则k=第2页例5：求一个二次多项式()fx，使它满足：(1)(3)0ff且(2)4f。例6：已知32()6fxxpxqx含有因式(3)(1)xx，试求p、q的值及()fx的另一个因式。例7：分解因式：abccba3333例8：分解因式：yxzxzyzyx222例9：若cba、、满足9222cba，那么代数式222accbba的最大值是多少？例10：分解因式：323xx例11：分解因式：236223xxx第3页例12：已知522xx是baxx24的一个因式，求ba的值。同步练习：练习1：已知012xx，那么代数式201433234xxx的值是_____练习2：若对于多项式()gx有(1)1g，(4)11g，试求()gx除以(1)(4)xx所得的余式。练习3：若32()2fxxxaxb被(2)(4)xx整除，试求常数ab、的值。练习4：已知(1)(4)0gg，(2)2g，1(3)2g，试求三次多项式()gx的表达式。练习5：已知32()32fxxmxnx含有因式32x，且(1)20f，试求mn、的值及()fx的另一个因式。第4页练习6：已知mcba3，求代数式cmbmamcmbmam3333的值。练习7：分解因式32252xxx练习8：分解因式9158423xxx练习9：分解因式：yxzxzyzyx333练习10：分解因式：9999400224xxx第5页参考答案例1：答案：2015解析：解法一（整体代入）：由012aa得023aaa所以201520151201420142222323aaaaaaaaa解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由012aa得aa12，所以201520151201420142120142201422222223aaaaaaaaaaaa揭发三（降次、消元）：12aa（消元、减项）2015201412014201420142014222222323aaaaaaaaaaa说明：本题常用的方法是降次法，通过降次最后使2014223aa化为一个常数，但是用降次法，变形过程较为复杂且容易出错，而用零代换只要掌握变形的技巧，计算比较简便。例2：答案：()43Qxx，()5Rxx解析：（长除法）：23243()()214538()xQxgxxxxxxfx…………32)484xxx2378xx2)368xx5()xRx……所以()fx除以()gx的商式为()43Qxx，余式为()5Rxx。例3：答案：20解析：由余式定理可知3()42f，设712xfxxF，则()Fx除以23x的余数为207441372314923fF例4：答案：8解析：设8623kkxxxxf，由题意得0822482kkf，所以8k例5：答案：2()41612fxxx解析：设()(1)(3)fxaxx，由于(2)4f，则4a所以121643142xxxxxf例6：答案：2x解析：解法一：设()(3)(1)()fxxxaxb，于是326(3)(1)()xpxqxxxaxb，第6页整理得：32326(4)(3)3xpxqxaxabxabxb由待定系数法可求得：1a，2b，2p，5q所以()fx的另一个因式为2x。解法二：设()(3)(1)()fxxxaxb，由因式定理得06392730611qpfqpf，，解得52qp，。因为当0x时，b36，所以2b。当1x时，286521a，所以1a。说明：根据因式定理可求出原多项式，再代入不同的数值，可求得剩下的未知数。例7：答案：cabcabcbacba222解析：因为baabbaba3333，所以baabbaba3333于是原式=cbaabcbaabccbaabba3333333=cabcabcbacbaabcbacbacba222223说明：该因式分解应用很广泛，用它可以推出很多有用的公式和结论。例如：222333213accbbacbaabccba；当0cba时，abccba3333。例，分解因式：3332321xxx。由于02321xxx，所以由上结论得xxxxxx232132321333例8：答案：xyxzzy解析：原式=zyzxzzxzyzyxzyxzzxzyzyx2222222xyxzzyzyxzxzzyzyxzzxzy2222说明：xzzyyx、、三个形式比较像，且之间有和为0的关系，所以经常用两个替代另一个的做法。比如zyxzyx，这种变形比较常见。例9：答案：27解析：222222222222cacacbcbbabaaccbba272722232222222cbaacbcabcbacba所以当0cba时，原式取得最大值为27.例10：答案：312xxx解析：解法一（拆项）：312233311121132233322222333xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法二（添项）：313113232222233xxxxxxxxxxxxx说明：此题无法用常规方法分解，需拆添项。观察多项式发现当1x时，它的值为0，这就意味着1x是323xx的一个因式，因此变形的目的是凑1x这个因式。至于如何拆项、添项并无一定规律可行。拆添项法也是分解因式的一种常见方法，这道题拆一次项和常数项也是比较容易。第7页例11：答案：23123112xxx解析：设236223xxxxf，最高次系数的因数为±1，±2；常数项的因数为±1，±2，则可能的根有±1，±2，±21，代入得02f，所以2x是xf的一个因式，根据长除法可得，2312311212222xxxxxxxf说明：此题不能用常规方法，也很难看出它的一个因式，这时需用试根法。试出一个根，从而得到原式的一个因式，再用长除法降次得到原式的另一个因式，再分解彻底。若原式很长，可能要试好几次。例12：答案：31解析：解法一（待定系数法）：设nmxxxxbaxx222452，去括号整理得nnmxnmxmxbaxx52552223424比较对应各项系数可知bnnmanmm50255202，解得25652banm所以31ba解法二（双十字相乘、赋值法）：设nmxxxxbaxx222452可得0233mxx，025nxmx，根据系数为零可得52nm，所以52522224xxxxbaxx，当1x时，481ba，所以31ba同步练习：第8页练习1：答案：2016解析：用降次、消元法：由012xx得12xx所以20142201422201433222222334234xxxxxxxxxxxxxxx2016201422014220142222xxxxx练习2：答案：32x解析：设()()(1)(4)gxQxxxaxb，由于(1)1g，(4)11g，所以1411abab，解得23ab所以()gx除以(1)(4)xx所得的余式为32x练习3：答案：2422ba，解析：由因式定理得(2)(4)0ff，所以2204112abab，解得2224ab练习4：答案：1032141xxxxg解析：设()(1)(4)()gxxxaxb，由题设条件得2(2)212(3)2abab即4221622abab，解得3452ab所以351()(1)(2)()(1)(2)(310)424gxxxxxxx练习5：答案：2(1)x解析：由因式定理得032f，又(1)20f，所以202310232323233223nmfnmf即46100150mnmn，解得87mn利用长除法可求出278323xxxxf除以23x的商式是22112xxx，所以322()3872(32)(1)fxxxxxx，另一个因式为2(1)x。练习6：答案：0解析：通过观察发现，若把方程mcba3变形为