初三自主招生教学案27二次函数应用题型

第1页二次函数应用题型知识梳理：函数图象的基本性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）1．形如函数)0(2acbxaxy叫做一元二次函数.2.二次函数的图象是一条抛物线.3．任何一个二次函数)0(2acbxaxy都可把它的解析式配方为顶点式：abacabxay44)2(22.4．性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2abacab，对称轴是直线abx2。（2）最大（小）值1当0a，函数图象开口向上，y有最小值，abacy442min，无最大值。2当0a，函数图象开口向下，y有最大值，abacy442max，无最小值。（3）①当0a，当x＜2ba时，y随着x的增大而减小；当x＞2ba时，y随着x的增大而增大；②当0a，当x＜2ba时，y随着x的增大而增大；xyOx＝－2baA24(,)24bacbaaxyOx＝－2baA24(,)24bacbaa第2页当x＞2ba时，y随着x的增大而减小；【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；5．二次函数的三种表达方式：①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．③若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．例题精讲：【例1】求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．同步练习：练习1：已知二次函数2()2fxxx，根据下列条件，求它的函数值的取值范围。（1）20x；（2）35x；（3）12x。第3页【例2】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．同步练习：练习2：当1txt时，求函数25212xxy的最小值（其中t为常数）练习3：求函数223,2fxxxaxa，aR的最大值与最小值。【例3】求二次函数122txxy在11x上的最大值和最小值（t为常数）。同步练习：练习4：函数12)(2axxxf在区间1,1上的最小值记为)(xg。（1）求)(xg的解析式；第4页（2）求)(xg的最大值。【例4】已知当10x时，二次函数243yxmx的函数值恒大于1，求实数m的取值范围。【例5】某商店若将进价为100元的某种商品按120元出售，一天就能卖出300个．若该商品在l20元的基础上每涨价l元，一天就要少卖出l0个，而每减价l完，一天赢可多卖出30个．问：为使一天内获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？第5页同步练习：练习5：某水果商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查显示，若每箱以50元的价格销售，平均每天可销售90箱，价格每提高1元，则平均每天少销售3箱.（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系；（2）求平均每天销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系；（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？参考答案例1：答案：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4)，与x轴交于点B233(,0)3和C233(,0)3，xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC图1第6页与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图1所示）．【解析】本题主要考察二次函数的基础知识点练习1：解析：取值范围重点看函数值的最大、最小值，需小心顶点坐标对应的函数值。答案：（1）80y（2）153y（3）31y例2：答案：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．练习2：解析：先求出函数的对称轴，画出函数的图像，分类讨论答案：①当11tt，即01t时，min13fxf②当1t，2min1522fxfttt311t时，即0t，2min1132fxftt练习3：解析：先求出函数的对称轴，画出函数的图像，分类讨论。答案：222312,2,fxxxxxaaxyO－2a①xyO－2aa24图2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③第7页（1）①当21aa，即11a时，min12fxf②当21a即1a时，2min223fxfaaa③当1a时，2min23fxfaaa（2）①当11a即0a时，2max23fxfaaa②当11a即0a时，2max223fxfaaa例3：分析：函数的最大值分界点是区间的中间值。答案：函数图象的开口向上；对称轴是直线xt；最大值（1）当0t，max122fxft（2）当0t，max122fxft最小值（1）当1t，min122fxft（2）当11t，2min1fxftt（3）当1t，min122fxft练习4：分析：函数()gx的最大值需根据函数图像，利用数形结合来完成。答案：（1）222,1()1,1122,1aagaaaaa（2）max()(0)1gag例4：答案：二次函数243yxmx的对称轴是直线2xm，（1）若21m时，即12m，当1x时，143441,ymm解得：34m，3142m，第8页（2）若120m时，即102m，当2xm时，只需2121614my即可解得：2222m，102m，（3）若20m时，即0m当0x时，只需31y即可，所以0m；综上（1）（2）（3）可得：实数m的取值范围是：34m.【例5】答案练习5：答案：（1）3240(5055)yxx（2）(40)(3240)wxx23360960(5055)xxx（3）当55x时可以获得最大利润，最大利润是1125元。