第08讲分式方程及其应用教师版备战2020中考数学专题复习分项提升

第8讲分式方程及其应用1．分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程解法分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解．3．分式方程的增根使最简公分母为0的根．注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．4．分式方程的实际应用(1)分式方程的实际应用常见类型及关系：①工程问题：工作效率＝工作量工作时间；工作时间＝工作量工作效率；②销售问题：售价＝标价×折扣；③行程问题：时间＝路程速度.(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)；③找：找出各量之间的等量关系；④列：根据等量关系，列出分式方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意；⑦答：写出答案．审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．考点1：分式方程的解法【例题1】解方程：23x－1－1＝36x－2.【解答】解：方法一：去分母，得4－2(3x－1)＝3.解得x＝12.检验：当x＝12时，2(3x－1)≠0，∴x＝12是原分式方程的解．方法二：设3x－1＝y则原方程可化为2y－1＝32y，去分母，得4－2y＝3.解得y＝12.∴3x－1＝12.解得x＝12.检验：当x＝12时，6x－2≠0，∴x＝12是原分式方程的解．方法三：移项，得23x－1－36x－2＝1.通分，得16x－2＝1.由分式的性质，得6x－2＝1.解得x＝12.检验：当x＝12时，6x－2≠0，∴x＝12是原分式方程的解．归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根．考点2：分式方程的应用【例题2(2018·吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．冰冰：400x＝600x＋20庆庆：600y－400y＝20根据以上信息，解答下列问题．(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所用时间；(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．【解析】：(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米(选择一个即可)．(3)选冰冰的方程：400x＝600x＋20，解得x＝40.经检验，x＝40是原方程的根．答：甲队每天修路的长度为40米．选庆庆的方程：600y－400y＝20，解得y＝10.经检验，y＝10是原方程的根．∴400y＝40.答：甲队每天修路的长度为40米．归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应用题的实际意义．考点3：分式方程与其它问题的综合应用【例题3】（2019•山东潍坊•10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：120000100000-=10001xx，求得x即可（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元∴120000100000-=10001xx整理得x2﹣19x﹣120＝0解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去）故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．（2）设每千克的平均售价为m元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有w＝（m﹣24）（413m×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260∵a＝﹣60＜0∴抛物线开口向下∴当m＝35元时，w取最大值即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．一、选择题：1.（2019，山东淄博，4分）解分式方程11=22xxx﹣2时，去分母变形正确的是（）A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）【答案】D【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），故选：D．2.（2019•山东省聊城市•3分）如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0【答案】B【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得，x＝1．故选：B．3.（2018海南）（3.00分）分式方程=0的解是（）A．﹣1B．1C．±1D．无解【答案】B【解答】两边都乘以x+1，得：x2﹣1=0，解得：x=1或x=﹣1，当x=1时，x+1≠0，是方程的解；当x=﹣1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；所以原分式方程的解为x=1，故选：B．4.（2019•湖南株洲•3分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【答案】B【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故选：B．5.若数使关于x的不等式组112352xxxxa有且只有四个整数解，且使关于y的方程2211yaayy的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为()A．-3B．-2C．1D．2【答案】C解析：解不等式115232524xxxaxxxa得，由于不等式有四个整数解，根据题意A点为42a，则1420a，解得22a。解分式方程2121yayay得ay2，又需排除分式方程无解的情况，故2a且1a.结合不等式组的结果有a的取值范围为122aa且，又a为整数,所以a的取值为2,0,1,和为1.故选C二、填空题：6.（2019•湖南岳阳•4分）分式方程12=+1xx的解为x＝1．【答案】1．【解答】解：方程两边同乘x（x+1），得x+1＝2x，解得x＝1．将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．所以x＝1是原方程的解．7.（2018黑龙江齐齐哈尔）若关于x的方程2134416mmxxx无解，则m的值为．【答案】﹣1或5或﹣13．【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3，可得：（m+1）x=5m﹣1，当m+1=0时，一元一次方程无解，此时m=﹣1，当m+1≠0时，则x=51+1mm=±4，解得：m=5或﹣13，综上所述：m=﹣1或5或﹣13，故答案为：﹣1或5或﹣13．8.（2019，四川巴中，4分）若关于x的分式方程2+2-22xmmxx有增根，则m的值为1．【答案】1【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，故答案为1三、解答题：9.解分式方程：x＋1x－5＝1＋2xx－5.【解析】：方程两边同乘(x－5)，得x＋1＝x－5＋2x，整理得，2x＝6，解得x＝3.检验：当x＝3时，x－5≠0，则x＝3是原分式方程的解10.(2018·宜宾)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．【解析】：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(1＋50%)x万部，根据题意，得300x－300（1＋50%）x＝5，解得x＝20.经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．∴(1＋50%)x＝30.答：每月实际生产智能手机30万部．11.(2018·河北模拟)甲、乙两地相距72千米，嘉嘉骑自行车往返两地一共用了7小时，已知他去时的平均速度比返回时的平均速度快13，求嘉嘉去时的平均速度是多少？下框是淇淇同学的解法．解：设嘉嘉去时的平均速度是x千米/时，则回时的平均速度是(1－13)x千米/时，由题意，得72x＋72（1－13）x＝7，…你认为淇淇同学的解法正确吗？若正确，请写出该方程所依据的等量关系，并完成剩下的步骤；若不正确，请说明原因，并正确地求出嘉嘉去时的平均速度．【解析】：淇淇同学的解法不正确；因为“去时的平均速度比返回时的平均速度快”并不等于“返回时的平均速度比去时的平均速度慢13”．设嘉嘉返回时的平均速度是x千米/时，则去时的平均速度是(1＋13)x千米/时，由题意得72（1＋13）x＋72x＝7，解得x＝18.经检验，x＝18是方程的解，且符合题意．(1＋13)x＝24.所以嘉嘉去时的平均速度是24千米/时．12.（2018•邵阳）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答．解析：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据题意，得=，解得x=120．经检验，x=120是所列方程的解．当x=120时，x+30=150．答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，解得a≥．∵a是整数，∴a≥14．答：至少购进A型机器人14台．13.（2019•山东威海•7分）列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：12003000-4=3xx，解得：x＝50，经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，答：小明的速度是