第12讲反比例函数教师版备战2020中考数学专题复习分项提升

第12讲反比例函数反比例函数解析式的确定(1)确定方法：待定系数法；(2)一般步骤：①设所求的反比例函数解析式为y＝kx(k≠0)；②根据已知条件，得到反比例函数图象上一点P(a，b)；③将点P(a，b)代入反比例函数的解析式得到关于系数k的方程；④解方程得待定系数k的值；⑤把k的值代入y＝kx即可得反比例函数解析式考点1：反比例函数的图像与性质【例题1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象一定经过点C；(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围．(不必写出过程)【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，BC⊥x轴．∴AD⊥x轴．又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵D在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y＝2x.(2)当x＝3时，y＝kx＋3－3k＝3，∴一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象一定过点C.(3)设点P的横坐标为a，则23＜a＜3.归纳：反比例函数中，y随x的大小变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．考点2：反比例函数与一次函数的综合【例题2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．(1)若点M是AB边的中点，求反比例函数y＝kx的解析式和点N的坐标；(2)若AM＝2，求直线MN的解析式及△OMN的面积．【点拨】(1)由已知可知点M的坐标，求出k的值，从而求出点N的坐标；(2)确定点M，点N的坐标，三角形面积就可求出．【解答】解：(1)∵点M是AB边的中点，∴M(6，3)．∵反比例函数y＝kx经过点M，∴3＝k6.∴k＝18.∴反比例函数的解析式为y＝18x.当y＝6时，x＝3，∴N(3，6)．(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)．设直线MN的解析式为y＝ax＋b，则2＝6a＋b，6＝2a＋b，解得a＝－1，b＝8.∴直线MN的解析式为y＝－x＋8.∴S△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN＝36－6－6－8＝16.【变式】在例2中，若△OMN的面积为10，求点M，N的坐标．解：∵OA＝OC＝6，设M(6，y)，则N(y，6)．∴BM＝BN＝6－y.∵S△OMN＝10，∴36－12×6×y×2－12(6－y)2＝10，即y2＝16.又∵y0，∴y＝4，∴M(6，4)．∴N(4，6)．归纳：1．确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可．另外将已知点的坐标或部分坐标代入解析式中，从而确定字母的值是我们经常用的方法．2．双曲线y＝kx中，根据k的几何意义求图形面积常用图形有：S阴影＝|k|S阴影＝|k|2S阴影＝|k|3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，所以在本题中，图形是关于直线y＝x的轴对称图形，对解答第(2)问提供解题思路．考点3：反比例函数的实际应用【例题3】(2018·乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【点拨】(1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值y＝10即可．【解答】解：(1)设线段AB解析式为y＝k1x＋b(k≠0)，∵线段AB过点(0，10)，(2，14)，代入，得b＝10，2k1＋b＝14，解得k1＝2，b＝10.∴AB解析式为y＝2x＋10(0≤x＜5)．∵B在线段AB上，当x＝5时，y＝20.∴B坐标为(5，20)．∴线段BC的解析式为y＝20(5≤x＜10)．设双曲线CD的解析式为y＝k2x(k2≠0)．∵C(10，20)，∴k2＝200.∴双曲线CD解析式为y＝200x(10≤x≤24)．∴y关于x的函数解析式为y＝2x＋10（0≤x5），20（5≤x10），200x（10≤x≤24）.(2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为20℃.(3)把y＝10代入y＝200x中，解得x＝20.∴20－10＝10.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息，挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题．一、选择题：1.（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y=，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a=±2【答案】C解析：可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．2.(2019安徽)（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝kx的图象上，则实数k的值为（）A．3B．13C．﹣3D．﹣13【答案】A【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y＝kx得k＝1×3＝3．故选：A．3.（2018•德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③【答案】B【解析】：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；故选：B．4.（2018•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内【答案】C【解答】解：A、正确．不符合题意．B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；C、y=5时，x=2.5或24，24﹣2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；D、正确．不符合题意，故选：C．5.（2018•遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=【答案】C解析：点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∴=tan30°=，∴=，∵×AD×DO=xy=3，∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，∴S△AOD=2，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣．故选：C．二、填空题：6.（2018·四川宜宾·3分）已知：点P（m，n）在直线y=﹣x+2上，也在双曲线y=﹣上，则m2+n2的值为6【答案】6【解答】解：∵点P（m，n）在直线y=﹣x+2上，∴n+m=2，∵点P（m，n）在双曲线y=﹣上，∴mn=﹣1，∴m2+n2=（n+m）2﹣2mn=4+2=6．故答案为：6．7.（2019•浙江绍兴•5分）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y＝（常数是＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是y＝x．【答案】y＝35x．【解答】解：∵D（5，3），∴A（3k，3），C（5，5k），∴B（3k，5k），设直线BD的解析式为y＝mx+n，把D（5，3），B（3k，5k）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y＝35x．故答案为y＝35x．8.（2018•安顺）如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是【答案】②③④．【解答】解：由图象知，k1＜0，k2＜0，∴k1k2＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得﹣2m=n，∴m+n=0，故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，∴，∵﹣2m=n，∴y=﹣mx﹣m，∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），∴OP=1，OQ=m，∴S△AOP=m，S△BOQ=m，∴S△AOP=S△BOQ；故③正确；由图象知不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确；故答案为：②③④．9.（2019▪贵州毕节▪5分）如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点．正方形ABCD的顶点C.D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是．【答案】3【解答】解：过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，∵AB⊥AD，∴∠BAO＝∠DAE，∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝BO，DE＝OA，易求A（1，0），B（0，4），∴D（5，1），∵顶点D在反比例函数y＝kx上，∴k＝5，∴y＝5x，易证△CBF≌△BAO（AAS），∴CF＝4，BF＝1，∴C（4，5），∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），∴5（4﹣n）＝5，∴n＝3，故答案为3；三、解答题：10.甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p＝优惠金额购买商品的总金额)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．【解析】：(1)510－200＝3