第22讲与圆有关的位置关系教师版备战2020中考数学专题复习分项提升

第22讲与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：(1)点P在圆上⇔d＝r；(2)点P在圆内⇔dr；(3)点P在圆外⇔dr．2．直线和圆的位置关系(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．直线和圆的位置关系图形公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相交2d＜r交点割线相切1d＝r切点切线相离0dr无无(2)切线的性质：①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)①切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长．②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．三角形的外接圆和内切圆名称图形内、外心性质三角形的外接圆三边垂直平分线的交点称为三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内切圆三条角平分线的交点称为三角形的内心三角形的内心到三角形三条边的距离相等考点1：圆的切线的判定与性质【例题1】如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE.(1)若∠ADC＝30°，求BD︵的长；(2)求证：△DAC≌△ECP；(3)在点P运动过程中，若tan∠DCE＝12，求AD的长．【点拨】(1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求BD︵的长；(2)先证得四边形DCPE是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan∠DCE在Rt△DAC中获得三边的数量关系，在Rt△AOC中建立方程求解．【解答】解：(1)∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°.∴∠DOB＝60°.∴lBD︵＝60×π×5180＝5π3.(2)证明：连接OP.∵AO＝OP，点C是AP的中点，∴∠DCP＝90°.∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE是矩形．∴DC＝EP.又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS)．(3)由(2)知，四边形DCPE是矩形，△DAC≌△ECP，∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE.∵tan∠DCE＝12，∴tan∠ADC＝12.∴设AC＝x，则DC＝2x，AD＝5x.在Rt△AOC中，OC＝2x－5，AO2＝AC2＋OC2，∴52＝x2＋(2x－5)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝4.∴AD＝45.归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径，无交点，作垂线”．2．求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解．考点2：圆的切线综合应用【例题2】（甘肃兰州，27，10分）如图，三角形ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC=10，求DE的长．【提示】（1）第一步：连接OC，易知∠A=∠OCA，由OD⊥AB证得∠A＋∠AEO=90°；第二步：根据“等边对等角”有∠DEC=∠DCE，代换得∠OCE+∠DCE=90°，从而证得结论；（2）第一步：作DH⊥EC，根据“等角的余角相等”可得∠EDH=∠A，△EDC中根据三线合一得EH=HC=12EC，于是AB=10，由勾股定理可得AC=310；第三步：由△AEO∽△ABC得AOAEACAB，代入数据求得AE，进一步求出EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得sin∠A=sin∠EDH，从而BCEHACDE，进而求得DE的长．【解答】解：（1）证明：连接OC，则∠A=∠OCA，∵OD⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠A＋∠AEO=90°，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠AEO=∠DEC，∴∠AEO=∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90°，∴CF是⊙O的切线．（2）作DH⊥EC，则∠EDH=∠A，∵DE=DC，∴EH=HC=12EC，∵⊙O的半径为5，BC=10∴AB=10，AC=310，∵△AEO∽△ABC，∴AOAEACAB，∴AE=5105103310，∴EC=AC-AE=5103103=4103，∴EH=12EC=2103，∵∠EDH=∠A，∴sin∠A=sin∠EDH，即BCEHACDE，∴DE=．归纳：当⊙C与AB相切时，只有一个交点，同时要注意AB是线段，当圆的半径R在一定范围内时，斜边AB与⊙C相交且只有一个公共点．考点3：圆与其它知识的综合应用【例题3】【例1】如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若ED＝3，cos∠F＝45，求⊙O的半径．【分析】(1)要判断CF是切线，根据切线的判定“有切点，连半径”，连接CB、OC，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE＝BE，所以∠BCE＝∠CBE，根据角之间的等量代换证得∠OCE＝90°，进而证得CF是切线；(2)由题意得CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，利用cos∠F＝BFEF和tan∠F可计算出BF，再利用勾股定理可得EF，由CF＝CE＋EF得CF，最后在Rt△OCF中，利用正切函数可计算出OC.【解析】(1)证明：如图，连接CB、OC，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＋∠CBE＝∠OCB＋∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；(2)解：CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，cos∠F＝45，tan∠F＝BEBF＝34，∴BF＝4，∴EF＝BE2＋BF2＝5，∴CF＝CE＋EF＝8，在Rt△OCF中，tan∠F＝OCCF＝34，∴OC＝6.即⊙O的半径为6一、选择题：1.矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内【答案】C【解析】：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP中，DP＝AD2＋AP2＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝BC2＋BP2＝9.∵PC＞DP，BP＜DP，∴点B在圆P内，点C在圆P外．答案：C2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm,4cm，则⊙A，⊙B的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．外离【答案】A【解析】：如图所示，由勾股定理可得AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5(cm)，∵⊙A，⊙B的半径分别为1cm,4cm，∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．答案：A3.（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故选：B．4.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，点C为⊙O上一点，连接AC.BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°【答案】D【解答】解：连接OA.OB，∵PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．5.(2019湖北仙桃)（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解答】解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．二、填空题：6.（2019•江苏苏州•3分）如图，AB为O⊙的切线，切点为A，连接AOBO、，BO与O⊙交于点C，延长BO与O⊙交于点D，连接AD，若36ABOo，则ADC的度数为.CDOAB【答案】27o【解答】切线性质得到90BAOo903654AOBoooODOAQOADODAAOBOADODAQ27ADCADOo7.（2018·山东泰安·3分）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为.【答案】6【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，8.（2018·山东威海·3分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为．【答案】135°【解答】解：如图，连接EC．∵E是△ADC的内心，∴∠AEC=90°+∠ADC=135°，在△AEC和△AEB中，，∴△EAC≌△EAB，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．9.（2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为．【答案】或【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．设PQ=PA′=r，∵