用空间向量解决空间中“夹角”问题

1利用空间向量解决空间中的“夹角”问题学习目标：1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.提高分析与推理能力和空间想象能力。重点：利用空间向量解决空间中的“夹角”难点：向量夹角与空间中的“夹角”的关系一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：bababa,cos||||（2）两向量夹角公式：||||,cosbababa（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：异面直线所成的角（范围：]2,0(）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b，问题1：当a与b的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与a和b的夹角的关系？问题2：a与b的夹角大于90°时，，异面直线a、b所成的角与a和b的夹角的关系？结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为|||||||,cos|cosnmnmnmabOObaObaba,ba,2ABCA1B1C1xyZDAyxCB1AD1B1C例1如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和1CB所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11aaBaaCaaaCA)2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1aaaCB即21323||||,cos22111111aaCBACCBACCBAC1AC和1CB所成的角为3知识点2、直线与平面所成的角（范围：]2,0[）思考：设平面的法向量为n，则BAn,与的关系？据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和BBAA11面所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则),0,,0(),2,0,0(1aABaAA)2,21,23(1aaaAC设平面BBAA11的法向量为),,(zyxnABCA1B1C1xyZDAyxCB1AD1B1CABOBAn,2ABOn2,BAnABOn（图1）（图2）|,cos|sinABn3由00002001zyayazABnAAn取1x，)0,0,1(n21323||||,cos22111aaNACnACnAC1AC和BBAA11面所成角的正弦值21.知识点3：二面角（范围：],0[）结论：或归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例3、如图，ABCD是一直角梯形，90ABC，SA面ABCD，1BCABSA，21AD，求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)1,0,0(),0,21,0(),0,1,1(),0,0,0(SDCA易知面SBA的法向量为)0,21,0(1ADn)1,21,0(),0,21,1(SDCD设面SCD的法向量为),,(2zyxn，则有0202zyyx，取1z，得2,1yx，)1,21,1(2n1nl2n21,nn21,coscosnn21,coscosnn1nl2n21,nn21,nn21,nnABCDxzyS436||||,cos212121nnnnnn又1n方向朝面内，2n方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角即所求二面角的余弦值为36.三、课堂小结1．异面直线所成的角：|,cos|cosba2．直线和平面所成的角：|,cos|sinnAB3．二面角：2121,coscos,coscosnnnn或.四、小试牛刀1：正方体1111DCBAABCD的棱长为1，点E、F分别为CD、1DD的中点.求直线11CB与平面CAB1所成的角的正弦值.2：正方体1111DCBAABCD的棱长为1，点E、F分别为CD、1DD的中点.求二面角DAEF的余弦值。