自然许多的物理现象均牵涉到短时间内量的变化

3導數與導函數自然許多的物理現象均牽涉到短時間內量的變化，例如汽車的瞬間加速度，或者是運動選手的暴發力等等。如果數據可以簡化成一個數學函數，那麼這個函數的導函數(derivative)即是量測這些瞬間變化率的一個量規，而導數即是用量規所量測到的數值。本章將介紹導函數的求法、它們的物理觀念，以及有關Maple用來計算導函數之指令等等。3.1切線與導函數........................................................3-23.2導函數的求法........................................................3-173.3Maple的微分指令................................................3-223.4三角函數的導函數................................................3-283.5鏈鎖律....................................................................3-333.6高階導函數............................................................3-373.7隱微分法................................................................3-413.8微分量與近似值....................................................3-46大3-2導數與導函數3.1切線與導函數本節介紹了函數圖形於某一點的切線，以及切線與導函數之間的關係。首先從幾何上的觀點來探討切線於幾何上的意義。3.1.1切線假設),(00yxP與),(11yxQ為函數),(yxf圖形上的兩點，如圖3.1.1所示。由(1.4.1)式可知，連接P、Q兩點之直線L的斜率為01010101sec)()(xxxfxfxxyym(3.1.1)直線L稱為割線(secantline)，而割線方程式可以簡單的由兩點式或點斜式來求得。當1x趨近於0x時，直線的斜率將趨近於函數在0x之切線(tangentline)的斜率，由(3.1.1)式可得函數在0x之切線的斜率為0101tan)()(lim01xxxfxfmxx(3.1.2)如果令01xxh，則當01xx時，0h。所以(3.1.2)式可改寫成hxfhxfmh)()(lim000tan(3.1.3)定義3.1.1切線的斜率設),(00yxP為函數)(xfy圖形上的一點，則通過P點之切線的斜率為hxfhxfmh)()(lim000tan01xxhxy)()(01xfxf)(xfyPQ0x1x圖3.1.1割線的斜率0101sec)()(xxxfxfmL),(00yx),(11yx微積分．基礎篇–使用Maple3-3Maple的student程式庫裡提供了showtangent指令，用來繪製函數於某一點之切線。它的用法與選項與plot指令相似，但需額外指定所欲繪製切線之點。讀者必須注意，在使用showtangent指令之前，必須先載入student程式庫。showtangent(f(x),x=x0,x=x1..x2,options)以options為選項，範圍取21xxx，繪出切)(xf於))(,(00xfx的切線【例題3.1.1】試求切2)(xxf圖形於點)1,1(之切線的斜率。【解】因10x，1)(0xf，由定義3.1.1可知，hxfhxfmh)()(lim000tanhhh1)1(lim20hhhh121lim20hhhh)2(lim0)2(lim0hh2故可知通過點)1,1(之切線斜率為2。現在再嚐試利用showtangent指令來繪出此條切線，並由圖上來驗證所得之斜率的正確性。載入student繪圖程式庫。with(student):3-4導數與導函數繪出通過)1,1(之切線，並指定繪圖的比例為1:1。由圖中約略可見切線的斜率為2，剛好符合本題的計算結果。showtangent(x^2,x=1,x=0..2,y=0..2,scaling=constrained);繪製函數的切線，除了使用showtangent指令之外，也可以利用割線的繪圖來一步步的逼近切線，如此更可說明了函數圖形之切線於幾何上的意義。接下來以函數9)3()(2xxf為範例來做說明。首先於函數圖形上取P、Q兩點，求出通過P、Q兩點之直線方程式並做圖，然後將Q點往P點移動，看看通過P、Q兩點的直線會有什麼變化。載入plots與student繪圖程式庫。with(plots):with(student):定義9)3()(2xxf。f:=x--(x-3)^2+9;:=fx()x329繪出)(xf的圖形，由圖中可見其圖形為一開口向下的拋物線。plot(f(x),x=0..6);微積分．基礎篇–使用Maple3-5設定P為)(xf圖形上的一點，其坐標為)5,1())1(,1(),(fyxP。P:=[1,f(1)];:=P[],15設定Q為)(xf圖形上的另一點，其坐標為)9,3())3(,3(),(fyxQ。Q:=[3,f(3)];:=Q[],39利用student程式庫裡的slope指令計算連接P、Q兩點之直線的斜率，得到斜率為2。m:=slope(P,Q);:=m2利用點斜式，可以求出通過P、Q兩點的直線方程式為xy23。eqn:=f(1)+m*(x-1);:=eqn32x繪出)(xf的圖形，並把圖形設給變數g1。注意在指令之後加上冒號，目的在不顯示任何輸出，但會執行運算。g1:=plot(f(x),x=0..6):繪出通過P、Q兩點的直線xy23與)(xf的函數圖。很明顯的，直線交)(xf於)5,1(與)9,3(兩點，由此可驗證所求的直線方程式正確無誤。display(plot(eqn,x=0..6,y=0..10),g1);現在把Q點移近P點，取),(yxQ)8,2())2(,2(f。Q:=[2,f(2)];:=Q[],28計算P、Q兩點連線的斜率，得到斜率為3。m:=slope(P,Q);:=m3這是通過P、Q兩點之直線方程式。eqn:=f(1)+m*(x-1);:=eqn23x3-6導數與導函數繪出通過P、Q兩點的直線xy32與)(xf的圖形。由圖中可看出直線交)(xf於)5,1(與)8,2(兩點。display(plot(eqn,x=0..6,y=0..10),g1);接下來，再將Q點往左移，令))1.1(,1.1(),(fyxQ。Q:=[1.1,f(1.1)];:=Q[],1.15.39計算得P、Q兩點連線的斜率為3.9。m:=slope(P,Q);:=m3.900000000這是通過P、Q兩點之直線方程式。eqn:=f(1)+m*(x-1);:=eqn1.1000000003.900000000x繪出)(xf與通過P、Q兩點的直線圖。由圖中可觀察到P、Q兩點的連線近似一條切)(xf於P點的切線。display(plot(eqn,x=0..6,y=0..10),g1);最後，取))01.1(,01.1(fQ。直覺上，現在的Q點相當接近於P點。Q:=[1.01,f(1.01)];:=Q[],1.015.0399P、Q兩點連線的斜率為3.99。綜觀上面的計算，若把Q點越往P點移動，其連線的斜率越接近4.0。slope(P,Q);3.990000000微積分．基礎篇–使用Maple3-7這是利用定義3.1.1來求切線斜率的數學式。Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);limh0()xh32()x32h用value指令來對上式求值，可得斜率之函數為62x。L:=value(%);:=L2x6因P點的x坐標為1，故可找出當1x時，切)(xf於P點的切線斜率為4。此值與先前的預測頗為吻合。eval(L,x=1);4事實上，利用(3.1.2)式亦可求出相同的結果。右式是以(3.1.2)式所求出的數學式。Limit((f(x)-f(x0))/(x-x0),x0=x);limx0x()x32()x032xx0用value指令求值，可得相同的答案。value(%);2x6showtangent指令可以更快速的繪出函數於某點的切線。右圖顯示直線切函數於(1,5)。showtangent(f(x),x=1,x=0..6,y=0..10);本例已經求出斜率的函數為62x，而有趣的是，在哪一點斜率會是零？還有，斜率為零的點會有哪些特性？接下來將初淺的探討這兩個問題。solve指令可求得於3x時，斜率為0。solve(-2*x+6=0,x);33-8導數與導函數繪出切)(xf於3x的切線與函數圖。由圖中可看出，斜率為0之點正是函數)(xf的極大值。showtangent(f(x),x=3,x=0..6,y=0..10);9)3(f，故可知)(xf的極大值為9。f(3);9用student程式庫裡的maximize指令來驗證，亦可得到相同的極大值。maximize(f(x),x);9由上面的討論可觀察到，函數的極值(extrema，意指極大或極小值)可能位於函數斜率為零之處，這是一個重要的觀念，關於這個部分留到4.2節再做詳細的介紹，目前讀者僅需要知道於幾何上有這項性質即可。3.1.2導函數與導數如果刪掉定義3.1.1中x的下標，即可得到微積分學裡一個重要的函數--導函數(derivative)。而)(xf的導函數之物理意義，即是)(xf之切線的斜率函數。定義3.1.2導函數函數)(xf的導函數定義為hxfhxfxfh)()(lim)(0，而)(xf的定義域為使得該極限存在的所有x所組成求導函數的過程稱為微分(differentiate)，而其方法則稱為微分法。通常以xD或dxd來代表微分運算子(differentialoperator)，因此)()()(xfxfDxfdxdx。微積分．基礎篇–使用Maple3-9【例題3.1.2】設43)(2xxxf，試依導函數的定義式來計算)(xf。【解】hxfhxfxfh)()(lim)(0hxxhxhxh)43(4)(3)(lim220hxxhxhxhxh)43(4332lim2220(展開平方項)hhxhh)32(lim0(消去相同的項))32(lim0hxh(約去h)32x雖然於例題3.1.2中，導函數的計算頗為煩瑣，然而大多數的導函數公式卻是經由這個推導過程而得的。導函數的計算公式留於3.2節再做討論，在此先看看如何利用Maple模仿例題3.1.2的步驟來計算導函數。定義43)(2xxxf。f:=x-x^2+3*x-4;:=fxx23x4計算hxfhxfh)()(lim0。注意Maple已做了少量的化簡，再輸出右式。Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0);limh0()xh23hx2h用expand指令展開上式，可化簡得32lim0hxh。expand(%);limh02xh3value計算得上式的極限值為32x，與例題3.1.2所得的答案相同。value(%);2x33-10導數與導函數【例題3.1.3】設xxf1)(，試依導函數的定義式來計算)(xf