正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性、最值)

正弦、余弦函数的性质（奇偶性、单调性、最值）高一年级：曹静斗奋拼搏正弦函数的奇偶性y=sinxyxo--1234-2-31图象关于原点对称是奇函数sin(-x)=-sinx(xR)x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数余弦函数的奇偶性图像关于y轴对称问题：函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？练习：判定下列函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性xysinxxycossin1、2、正弦、余弦函数的单调性正弦函数的单调性y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至1xsinx…0………-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1[+2k,+2k],kZ[+2k,+2k],kZx22322523yO23225311正弦、余弦函数的单调性余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcosx-……0……-1010-1增区间为其值从-1增至1[+2k,2k],kZ减区间为，其值从1减至-1[2k,2k+],kZx22322523yO23225311正弦函数的最大值和最小值xyo--1234-2-31223252722325最大值：有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk22x当时，余弦函数的最大值和最小值最大值：0x当时，有最大值1yk2最小值：x当时，有最小值1yk2yxo--1234-2-31223252722325例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|2,}xxkkZ使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|(21),}xxkkZ函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是3sin,yttR{|2,}2ttkkZ222xtk由4xk得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ同理，使函数取最小值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。3sin2,yxxR正弦、余弦函数的单调性例2、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin()、sin()(2)cos()、cos()解：又y=sinx在上是增函数sin()sin()解：coscos又y=cosx在上是减函数cos()=cos=coscos()=cos=cos小结：正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、最值奇偶性单调性（单调区间）奇函数偶函数[+2k,+2k],kZ单调递增[+2k,+2k],kZ单调递减[+2k,2k],kZ单调递增[2k,2k+],kZ单调递减函数余弦函数正弦函数正弦、余弦函数的最值正弦函数的最大值与最小值：(1)当sinx＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；(2)当sinx＝－1，即x＝2kπ－(k∈Z)时，ymax＝－1。余弦函数的最大值与最小值：(1)当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；(2)当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－1。2222222