交大附中二轮讲义2019届高三2轮复习专题5归纳猜测论证学生

【专题5】归纳猜测论证【知识提要】在科学工作中，猜测几乎总是站在证明的前面-----------波利亚（美）在数学中，发现真理的主要工具是归纳和类比-----------拉普拉斯（法）罗列一些特殊的情况后进行归纳，然后展开合情推理来猜测，最后在严格的逻辑标准下完成数学证明。以上是数学问题解决的常规路径。【例题分析】例1如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2018次跳后它将停在点__________例2已知数列{a}n中，12213,6,nnnaaaaa则2018=a例3观察下列式子：222221311511171,1,1222332344，…，则可归纳出_____.例4观察（1）000000tan10tan20tan20tan60tan60tan101；（2）000000tan5tan10tan10tan75tan75tan51（3）000000tan20tan40tan40tan30tan30tan201由以上三式成立，推广到一般结论，写出你的推论，并证明例5如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,AB（B在A的上方），且2AB．（Ⅰ）圆C的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，下列三个结论：①NAMANBMB；②2NBMANAMB；③22NBMANAMB．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）例6已知定义在N上的单调递增函数()yfx，对于任意的nN,都有fnN且()3ffnn恒成立，则(2018)(1999)ff=______.例7如图，椭圆E：22143xy的左焦点为F1，右焦点为F2．过F1的直线交椭圆于A、B两点．设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由例8已知数列na满足：*1aN，136a≤，且121823618nnnnnaaaaa，≤，，12n，，…．记集合*|nManN．（Ⅰ）若16a，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．【巩固练习】1、观察下列等式：1535522CC,1597399922CCC,159131151313131322CCCC,1591317157171717171722CCCCC,……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC…2、（2012福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.122sin13cos17sin13cos17；222sin15cos15sin15cos15；322sin18cos12sin18cos12；422sin13cos48sin13cos48；522sin25cos55sin25cos55。（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.3、（2013湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为2111222nnnn.记第n个k边形数为,Nnk3k，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数211,322Nnnn正方形数2,4Nnn五边形数231,522Nnnn六边形数2,62Nnnn……可以推测,Nnk的表达式，由此计算10,24N4、有下列各式：111123，1131272，111122315，……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为5、正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（）块..A20.B21.C22.D236、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数7、n表示不超过n的最大整数.123[1][2][3]3[4][5][6][7][8]10[9][10][11][12][13][14][15]21SSS那么5S8、下图中1、2、3、4为四个平面图形.表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数.现已知某个平面图形有1009顶点，围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数为9、观察下列各式：553125，6515625，7578125，…，则2011`5的末四位数字为（）.A3125.B5625.C0625.D812510、观察下列等式：1－11221－11111234341－1111111123456456……据此规律，第n个等式可为___________________11.数列}{na的通项公式12cosnnan，前n项和为nS，则2018S12、某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含()fn个小正方形．(1)求出(5)f的值；(2)先合理地归纳出(+1)fn与()fn之间的关系式，并根据你得到的关系式求出()fn的表达式；(3)求111+++(1)(2)-1(2018)-1fff的值．13、已知椭圆C:22143xy,若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点（,AB不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．14、已知数列na（n为正整数）的首项为1a，公比为q的等比数列.（1）求和：223122021CaCaCa；334233132031CaCaCaCa.（2）由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.15、已知集合3,2,1X，)(,,3,2,1*NnnYn，,),(abbabaSn整除或整除nYbXa,，令()fn表示集合nS所含元素的个数.（1）写出(6)f的值；（2）当6n时，写出()fn的表达式，并用数学归纳法证明.16、如图，椭圆22:142xyE，过点(0,1)P的动直线l与椭圆相交于,AB两点。在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。