高中数学概率统计知识点全归纳

高中数学资料共享群284110736高中数学《概率与统计》知识点总结一、统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。2、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：⑴平均数：nxxxxxn++++=321；取值为nxxx,,,21的频率分别为nppp,,,21，则其平均数为nnpxpxpx+++2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。⑵方差与标准差：一组样本数据nxxx,,,21方差：212)(1=−=niixxns；标准差：21)(1=−=niixxns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：abxy+=（最小二乘法）高中数学资料共享群2841107361221niiiniixynxybxnxaybx==−=−=−注意：线性回归直线经过定点),(yx。二、概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；⑶随机事件A的概率：1)(0,)(=APnmAP.2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率nmAP=)(.3、几何概型：⑴几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。⑵几何概型概率计算公式：的测度的测度DdAP=)(；其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件nAAA,,,21任意两个都是互斥事件，则称事件nAAA,,,21彼此互斥。⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：)()()(BPAPBAP+=+⑷如果事件nAAA,,,21彼此互斥，则有：)()()()(2121nnAPAPAPAAAP+++=+++⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。①事件A的对立事件记作A)(1)(,1)()(APAPAPAP−==+②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。三、排列组合与二项式定理1、基本计数原理高中数学资料共享群284110736⑴分类加法计数原理：(分类相加)做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN+++=21种不同的方法.⑵分步乘法计数原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同的方法……做第n个步骤有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN=21种不同的方法.2、排列与组合⑴排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取()nmm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.⑵组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取()nmm个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合.⑶排列数：从n个不同的元素中任取()nmm个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作mnA.⑷组合数：从n个不同的元素中任取()nmm个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作mnC.⑸排列数公式：①()()()121+−−−=mnnnnAmn()!mnnAmn−=！；②!nAnn=，规定1!0=.⑹组合数公式：①()()()!121mmnnnnCmn+−−−=或()!!mnmnCmn−=！；②mnnmnCC−=，规定10=nC.⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.⑻排列与组合的联系：mmmnmnACA=，即排列就是先组合再全排列.()(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm−−+===−−⑼排列与组合的两个性质性质高中数学资料共享群284110736排列11−++=mnmnmnmAAA；组合11−++=mnmnmnCCC.⑽解排列组合问题的方法①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.⑤有序问题组合法.⑥选取问题先选后排法.⑦至多至少问题间接法.⑧相同元素分组可采用隔板法.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.3、二项式定理⑴二项展开公式：()011222nnnnrnrrnnnnabCaCabCabCab−−−+=++++()nnnCbnN+++.⑵二项展开式的通项公式：()+−+=NnNrnrbaCTrrnrnr,,01.主要用途是求指定的项.⑶项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如在()naxb+的展开式中，第1r+项的二项式系数为rnC，第1r+项的系数为rnrrnCab−；而1()nxx+的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.⑷()nx+1的展开式：()0221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn++++=+−−，若令1=x，则有()nnnnnnnCCCC++++==+210211.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即⑸二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC−=；（2）增减性与最大值：当12nr+时，二项式系数Crn的值逐渐增大，当12nr+时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式131202−=++=++nnnnnCCCC高中数学资料共享群284110736系数2nnC取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第21+n和21+n＋1项）的二项式系数1122nnnnCC−+=相等并同时取最大值.⑹系数最大项的求法设第r项的系数rA最大，由不等式组11rrrrAAAA−+可确定r.⑺赋值法若2012()...,nnnaxbaaxaxax+=++++则设()().nfxaxb=+有：①0(0);af=②012...(1);naaaaf++++=③0123...(1)(1);nnaaaaaf−+−++−=−④0246(1)(1)...;2ffaaaa+−++++=⑤1357(1)(1)....2ffaaaa−−++++=四、随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件ABC、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件ABC、、彼此互斥.当AB、是互斥事件时，那么事件AB+发生（即AB、中有一个发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的和，即()()()PABPAPB+=+.⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着A.知识结构高中数学资料共享群284110736对立事件的概率和等于1.()1()PAPA=−.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当AB、是相互独立事件时，那么事件AB发生（即AB、同时发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的积.即()()()PABPAPB=.若A、B两事件相互独立，则A与、与B、与也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率()()(1)0,12,.,kknknnPknkCpp−==−⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.公式：()(),()0.()PABPBAPAPA=2、离散型随机变量⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母,,,XY等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X是随机变量，(,YaXbab=+是常数）则Y也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布列）设离散型随机变量X可能取的不同值为12,xx，…，ix，…，nx，X的每一个值ix（1,2,,in=）的概率()iiPXxp==，则称表BAAB奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆高中数学资料共享群284110736X……P……为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.性质：①0,1,2,...;ipin=②11.niip==⑵两点分布如果随机变量X的分布列为则称X服从两点分布，并称(1)pPX==为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是()(1).kknknPXkCpp−==−其中0,1,2,...,,1knqp==−，于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nP00nnCpq111nnCpq−…kknknCpq−…0nnnCpq我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作()pnBX,~，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是,,.pkn⑷超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk=发生的概率为()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPXkkmC−−===,于是得到随机变量X的概率分布如下：其中min,mMn