维纳滤波器的设计与分析

课程（论文）题目：维纳滤波器的设计与分析内容：1背景在许多实际应用中，人们往往无法直接获得所需要的有用信号，能够观测到的是退化了或失真了的有用信号。为了从信号中提取或恢复原始信号，需要设计一种滤波器对其进行滤波，使它的输出尽可能逼近原始信号，成为最佳估计。所谓“最佳”，是以一定的准则来衡量的，包括：最大后验准则；最大似然准则；均方准则；线性均方准则。维纳滤波器就是最佳滤波器的典型代表之一，采用的是线性均方准则。滤波理论的发展对于信息科学的发展有着很大的贡献，几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域，本文主要讲述的就是维纳滤波器在信号处理方面的去噪功能。2算法原理维纳滤波器是一个线性时不变系统，设其冲激响应为)(nh，输入为)()()(nvnsnx，则输出错误!未找到引用源。mmnxmhny)()()(，我们希望)(nx通过这个系统后得到的)(ny尽量接近于)(ns，因此称)(ny为)(ns的估值。按照最小均方误差准则，)(nh应满足正交方程：mimRihmRixxxs,)()()(。式中，)(mRxs是)(ns与)(nx的互相关函数，)(mRxx是)(nx的自相关函数，这就是著名的的维纳-霍夫方程。本文采用最佳维纳滤波方法实现随机信号的维纳滤波。设)(nh为一因果序列，长度为N，同样利用最小均方误差准则，)(nh应满足：hRrxxxs，其中TNhhhh)]1(),...,1(),0([，)]()([nxnsErxs，)]()([nxnxERTxx。当xxR为满秩矩阵时，xsxxrRh1。由此可见，利用有限长的)(nh实现维纳滤波器，只要已知xxR和xsr，就可以按上式解得满足因果性的h。只要选择的N足够大，它就可以很好地逼近理想无限长的维纳滤波器。3算法实现本文设计的FIR滤波器阶数为N，输入样本个数为L。利用生成的L个)(ns与)(nx估计xxR和xsr，并检测生成的)(nx自相关函数和互相关函数，使用MATLAB软件绘制维纳滤波前后对比图，估计)(nh与理想)(nh对比图，理想维纳滤波与FIR维纳滤对比图，改变N和L观察滤波效果。程序流程图如下所示：图1程序流程图部分程序段如下所示：%得到一个符合要求的)(nx序列while(1)wn=sqrt(sigma_a2)*(randn(L,1));sn=filter(1,a_,wn);vn=randn(L,1);xn=sn+vn;r_xx=xcorr(xn,'unbiased');r_xx_t=a.^abs([-K:K]);%r_xx_t为自相关函数的理论值r_xx_t(K+1)=r_xx_t(K+1)+1;%r_xx(L-K:L+K)为自相关函数的实际值p=xcorr(sn,xn,'unbiased');r_xs=p(L:L+K);%r_xs为互相关函数的实际值rou_xx=sum((r_xx(L-K:L+K)-r_xx_t').^2)/sum(r_xx_t.^2);rou_xs=sum((r_xs-a.^[0:K]').^2)/sum(a.^[0:K].^2);ifrou_xx0.03&&rou_xs0.01break;endend%构造)(nx的N阶自相关矩阵R_xxn=0:N-1;开始输入L,N估计Rxx和Rxs绘制各种比较图计算最小均方差结束检测x(n)的自相关函数和互相关函数Nfori=1:Nforj=1:NR_xx(i,j)=r_xx(i-j+L);endendhopt=inv(R_xx)*r_xs(1:N);%利用维纳—霍夫方程求hhopt_t=0.2379*(0.7239).^n;%理想h4仿真结果（1）图2和图3所示的是当11N,1000L时，维纳滤波前后)(nx和)(ns的比较图。显然，与)(ns相比，)(nx在维纳滤波前与)(ns相差很大，维纳滤波后较接近)(ns，可见滤波效果较好。图4为估计)(nh与理想)(nh的对比，二者近似程度很高。图5为FIR维纳滤波器的效果图，很难从图3和图5中比较出差异，只能通过二者最小均方差来比较，理想维纳滤波2425.0ie,FIR维纳滤波2423.0fe。可见，理想维纳滤波效果要好过FIR维纳滤波。（2）固（3）（4）（5）图2维纳滤波前)(nx和)(ns图3理想维纳滤波后)(nx和)(ns（6）（7）（8）（9）（10）图4估计)(nh与理想)(nh图5FIR维纳滤波后)(nx和)(ns(3)固定5000L，分别取214、N，观察N的大小对)(nh的估计和滤波效果的影响。当4N时，2386.0fe；当21N时，2465.0fe。显然，N越大，滤波效果越好。图64N估计)(nh与理想)(nh图74NFIR维纳滤波后)(ns与)(nx图821N估计)(nh与理想)(nh图921NFIR维纳滤波后)(ns与)(nx(3)固定11N，分别取5000010000、L，观察L的大小对)(nh的估计和滤波效果的影响。当10000L时，2395.0fe；当50000L时，2465.0fe。从仿真结果可知，L越大，)(nh与)(nh越接近，精度越高，滤波效果越好。图1010000L估计)(nh与理想)(nh图1110000LFIR维纳滤波后)(ns与)(nx图1250000L估计)(nh与理想)(nh图1350000LFIR维纳滤波后)(ns与)(nx5总结从仿真结果可以看出，样本个数越大，参数精度越高。影响维纳滤波效果的因素包括样本个数L、FIR滤波阶数，且均成正比关系，L越大或者FIR滤波器的阶数越大则维纳滤波的效果越好。维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。由于实现维纳滤波需要输入过程是广义平稳，而且输入过程的统计特性是已知的。然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求，这就导致人们朝着自适应滤波器的方向研究。