函数的单调性教学课堂实录

-1-函数的单调性（一）创设情境，引入课题老师：实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线。请你根据曲线图说说气温的变化情况？学生：可以看出气温的最值，还有某时刻的气温，某时间段气温的升降变化等。老师：图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。函数是描述事物变化规律的数学模型。如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质。因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。老师：问题1：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？学生：（1）函数图像逐渐上升；（2）函数图像先下降后上升；（3）函数图像下降；老师：规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质。老师：设函数的定义域为I，区间DI。在区间D上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间；（学生类比定义“递减”，接着推出下图，让学生准确回答单调性。）-2-（二）引导探索，生成概念老师：问题2（1）下图是函数()yfx的图象（以()0.0011fxx为例），它在定义域R上是递增的吗？（2）函数1()fxxx在区间(0,+)上有何单调性？学生：是递增的。老师：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性。（设计意图：借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性。自然开始探索。）老师：问题3（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增．大．”？以二次函数2()fxx在区间[0,)上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）。设计说明：先借助图形、动画和表格等直观感受“y随x的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若12xx，则必须有12yy。（2）已知12axxb，若有12()()()()fafxfxfb。能保证函数()yfx在区间[,]ab上递增吗？-3-拖动“拖动点”改变函数()yfx在区间[,]ab上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增。（3）已知123axxxb，若有123()()()()()fafxfxfxfb，能保证函数()yfx在区间[,]ab上递增吗？拖动“拖动点”，观察函数()yfx在区间[,]ab上的图象变化。设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢？引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成。（4）已知1234axxxxb，若有1234()()()()()()fafxfxfxfxfb，能保证函数()yfx在区间[,]ab上递增吗？设计说明：可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个x也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个的验证吧？”紧接着师生一起回顾子集的概念，（PPT展示教材上子集定义）再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想。问题4：如何用数学语言准确刻画函数()yfx在区间D上递增呢？预设：请学生自愿尝试概括定义。板书“任意12,xxD，当12xx时，都有12()()fxfx，则称函数()yfx在区间D上递增”，则突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间D上递增吗”。问题5：请你试着用数学语言定义函数()yfx在区间D上是递减的。-4-预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示。并有意引导使用“任意12,xxD，当12xx时，都有12()()fxfx，则称函数()yfx在区间D上递减”，以此打破必须“12xx”的思维定势。（三）学以致用，理解感悟判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由。（举例或者画图）（1）设函数()yfx的定义域为[,)a，若对任意xa，都有()()fxfa，则()yfx在区间[,)a上递增；（2）设函数()yfx的定义域为R，若对任意12,(,)xxa，且12xx，都有12()()fxfx，则()yfx是递增的；（3）反比例函数1()fxx的单调递减区间是(,0)(0,)。设计说明：让学生分组讨论，然后作展示性回答。若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎么修改）。通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解。例题：判断并证明函数()0.0011fxx的单调性。设计说明：对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式12()xx等，并让学生提炼证明的基本步骤。练习：证明函数1()(0)fxxxx的单调性：（1）在(0,1)上递减；（2）在(1,)上递增。设计说明：回答“问题2”悬而未决的问题。先请两位学生板演，然后由其他学生完善步骤。思考题：物理学中的玻意耳定律kpV（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明。设计说明：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力。（四）回顾反思，深化认识-5-课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？（关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验，等。）设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高。（五）布置作业课堂作业：（1）第38页习题2-3A组：3，5；（2）判断并证明函数1()(0)fxxxx的单调性。探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜。请你运用所学的数学知识解释这一现象。设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对钩函数”的认识。探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性。（六）板书设计函数的单调性递增：（板书定义）递减：（学生类比）例题（提炼步骤，明确变形方向）练习（学生板演）六、教后反思反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况，等。