两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式课前自修区基础相对薄弱，一轮复习更需重视基础知识的强化和落实课堂讲练区考点不宜整合太大，挖掘过深否则会挫伤学习的积极性课时跟踪检测课前自修区一、基础知识批注——理解深一点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.C(α±β)：cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.T(α±β)：tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.T2α：tan2α＝2tanα1－tan2αα≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z.二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论汇总——规律多一点(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()√√×√(二)选一选1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A．89B．79C．－79D．－89解析：∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.答案：B2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B．32C．－12D．12解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.答案：D3．设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝()A．15B．－15C．5D．－5解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝32，故tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝32－11＋32＝15.答案：A(三)填一填4．已知cosα＝1213，α∈0，π2，则cosα－π4＝________.解析：∵cosα＝1213，α∈0，π2，∴sinα＝1－cos2α＝513，∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝1213×22＋513×22＝17226.答案：172265．sin15°＋sin75°＝________.解析：依题意得sin15°＋sin75°＝cos75°＋sin75°＝2cos(75°－45°)＝62.答案：62课堂讲练区考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sinα＝35，α∈π2，π，tanβ＝－12，则tan(α－β)的值为()A．－211B．211C．112D．－112[解析]因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.[答案]A(2)(2019·呼和浩特调研)若sinπ－α＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为()A．－229B．－429C．229D．429[解析]因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－223＝－429.[答案]B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sinα＝13＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα＋π4的值为()A．－23B.23C．－13D.13解析：因为sinα＝13＋cosα，所以sinα－cosα＝13，所以cos2αsinα＋π4＝cos2α－sin2αsinαcosπ4＋cosαsinπ4＝cosα－sinαcosα＋sinα22sinα＋cosα＝－1322＝－23.答案：A2．已知sinα＝45，且α∈π2，3π2，则sin2α＋π3的值为________．解析：因为sinα＝45，且α∈π2，3π2，所以α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－452＝－35.因为sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝－725.所以sin2α＋π3＝sin2αcosπ3＋cos2αsinπ3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°＝________.[解析](1)∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋3tan25°·tan35°＝3(1－tan25°tan35°)＋3tan25°tan35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；1±sinα＝sinα2±cosα22；sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1；cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．口诀助解公式顺用和逆用，变形运用加巧用；幂升一次角减半，升幂降次它为范；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦．[题组训练]1.口诀第1句设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22(sin56°－cos56°)，c＝1－tan239°1＋tan239°，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．cabD．acb解析：由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数，所以sin13°sin12°sin11°，所以acb.答案：D2.口诀第1句已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋π6＝________.解析：由cosα－π6＋sinα＝435，可得32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即32sinα＋32cosα＝435，∴3sinα＋π6＝435，即sinα＋π6＝45.答案：453.口诀第2、3句化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是______．解析：原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cosβ的值为________．[解析]由角α的终边过点P－35，－45，得sinα＝－45，cosα＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；[解]因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)求tan(α－β)的值．[解]因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈π2，π.所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tanθ＋1tanθ＝4，则cos2θ＋π4＝()A.12B.13C.