毕业论文《求函数极限的若干方法》

...题目求极限的若干方法学生苗波年级2012级专业数学与应用数学南京机电...哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目求极限的若干方法学生姓名范秀龙指导教师孙玉莉年级08级专业数学与应用数学2011年11月...课题来源：由论文指导委员会提供课题研究的目的和意义：在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限。无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。首先，本篇论文总结了所有求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。国内外同类课题研究现状及发展趋势：作研究函数最基本的方法——极限思想，早在古代就有比较清楚的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”，是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结，希望对初学者有所帮助。...指导教师审查意见：指导教师（签字）年月教研室（研究室）评审意见：____________教研室（研究室）主任（签字）年月院（系）审查意见：____________院（系）主任（签字）年月...学士学位论文题目求极限的若干方法学生范秀龙指导教师孙玉莉年级2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年4月...目录摘要.........................................................................................................................................1关键词.......................................................................................................................................11.定义法....................................................................................................................................22.利用极限四则运算法则........................................................................................................33.利用夹逼性定理求极限........................................................................................................34.利用两个重要极限求极限....................................................................................................45.利迫敛性来求极限................................................................................................................46.用洛必达法则求极限............................................................................................................57.利用定积分求极限................................................................................................................68.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限.....................................69.利用变量替换求极限............................................................................................................710.利用递推公式计算或证明序列求极限..............................................................................711.利用等价无穷小量代换来求极限......................................................................................812.利用函数的连续性求极限..................................................................................................913.利用泰勒公式求极限........................................................................................................1014.利用两个准则求极限........................................................................................................1015.利用级数收敛的必要条件求极限....................................................................................1216.利用单侧极限求极限........................................................................................................13总结.........................................................................................................................................13参考文献.................................................................................................................................14外文摘要.................................................................................................................................15...求极限的若干方法范秀龙摘要:在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余关键词：夹逼准则；单调有界准则；洛必达法则；微分中值定理；一·极限的定义性质及作用学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。数列极限标准定义：对数列nx，若存在常数a，对于任意0，总存在正整数N，使得当nN时，nxa成立，那么称a是数列nx的极限。函数极限标准定义：设函数,fxx大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意0，总存在正整数X，使得当xX时，nxA成立，那么称A是函数fx在无穷大处的极限。设函数fx在0x处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意0，总存在正数，使得当0xx时，0xx成立，那么称A是函数...fx在0x处的极限。函数极限具有的性质：性质1（唯一性）如果limxafx存在，则必定唯一性质2（局部有界性）若0lim()xxfx存在，则f在0x的某空心邻域内有界性质3（保序性）设lim,limxaxafxbfxc性质4（迫敛性）设00lim()lim()xxxxfxhxA，且在某00(;)Ux内有()()()fxgxhx，则0lim()xxhxA.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二·极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还