概率论与数理统计期末总复习PPT

概率论与数理统计期末总复习2020第一章随机事件及其概率一、事件的关系与运算因事件是一个集合，故事件间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.注意这些关系与运算1.:BA事件B包含事件A或A是B的子事件，其含义：然导致事件B发生.显然.SA事件A发生必2.BA(即,BA且:)ABA称事件与事B相等.件在概率论中的提法和含义.3.BA{Aee|或Be}：与事件B的和事件.4.BA{Aee|且Be}：称为事件A与事件B的积事件.称为事件A其含义：事件A与B至少有一个发生其含义：事件A与B同时发生5.称为事件A与事件B的差事件.{Aee|且Be}：-BA6.若,BA则称事件A与B是互不相容的(或互斥的).7.若SBA且,BA事件B互为对立事件，为逆事件.A的对立事件记为,A于是件或可数无限个事件的情形..ASA-注：事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的和与积的运算可推广到则称事件A与或事件A与事件B互(1)(2)有限个事.ABBA事件的和与积的另一记法：,BABA(3)８.完备事件组设,,,,21nAAA是有限或可数个事件，满足：若其;,2,1,,,)1(jijiAAji.)2(SAii则称,,,,21nAAA是一个完备事件组.显然，A与A构成一个完备事件组.完二、概率的公理化定义定义:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一件事件A赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满足下列三个条件:1.非负性:对每一个事件A,有;0)(AP2.完备性:;1)(SP3.可列可加性:对任意可数个两两互不相容的事件,,,,,21nAAA有)P(A)P(A)AA(A21n21P,)P(An则称P(A)为事件A的概率.三、概率的性质性质1.0)(P性质2(有限可加性)设nAAA,,,21是两两不相容的事件，则有).()()()(211nniiAPAPAPAP＝性质3).(1)(APAP-性质4).()()(ABPAPBAP--特别地，若,AB则(1));()()(BPAPBAP--(2)).()(BPAP性质5对任一事件A，.1)(AP例.相等，且,)(pAP求).(BP设A、B都出现的概率与都不出现的概率A、B解因为)()(BAPABP)(BAP)(1BAP-),()()(1ABPBPAP--)(1)(APBP-所以.1p-四、两个概型1.古典概型是一类简单的概率模型,它曾经是概率论发展初期主要研究对象.它满足下列两个假设条件:(1)随机试验的结果只有有限个可能;(2)每一个可能结果发生的可能性相同.因而古典概型又称为等可能概型.则事件A发生的概率中基本事件的总数包含的基本事件数SAAP)(设事件A包含其样本空间S中K个基本事件,注：在古典概型中,我们证明了条件概率公式:)()()|(APABPABP(1)计算条件概率)|(ABP的方法有两种:A.按条件概率的定义直接计算).|(ABP注意在求)|(ABP时样本空间S中所有不属于A的样本点都被排除,原有的样本空间S缩减成为.AS在缩减了的样本空间AS中);|(ABPB.在S中先计算)(ABP及),(AP再按(1)求得).|(ABPA已发生,已知B的概率就得到计算事件2.伯努利概型事件A发生(记为A)或事件A不发生(记为),A设,1)(,)(qpAPpAP-),1,1,0(qpqp试验在相同的条件下独立地重复进行，若满足下列两个假设条件:(1)(2)则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为knkknnqpCkP-)().,,1,0(nk推论在伯努利试验中，事件A在第k次试验中才首次发生的概率为1)1(--kpp).,,2,1(nk例.某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中:(1)都不出废品的概率;(2)至少有一天出废品的概率;(3)仅有一天出废品的概率;(4)最多有一天出废品的概念;(5)第一天出废品,解把一天生产是否出废品看作一次试验,则四天生产可视为4重伯努利试验,记K表示出废品的天其余各天不出废品的概念.数,A“出废品”,A“不出废品”,则(1)4004)2.01(2.0)0(-CKP48.0;4096.0(2))0(1)1(-kPKP;5904.04096.01-31148.0)2.0()1(CKP(3);1024.0某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中:(4)最多有一天出废品的概念;(5)第一天出废品,解把一天生产是否出废品看作一次试验,则四天生产可视为4重伯努利试验,记K表示出废品的天其余各天不出废品的概念.数,A“出废品”,A“不出废品”,则(4))1()0()1(KPKPKP;512.01024.04096.0(5)P(第一天出废品,其余各天不出废品))(AAAAP3)]([)(APAP.1024.08.02.03五、关于“和事件”).()()()(ABPBPAPBAP-(1)(2)注：可推广到任意有限个事件的并的情形.例如,)()()()()(ABPCPBPAPCBAP-).()()(ABCPACPBCP--任意事件：互斥事件：).()()(BPAPBAP(3)独立事件：).()()()()(BPAPBPAPBAP-注：可推广到任意有限个事件的并的情形.例如,)(1)(CBAPCBAP-).()()(1)(1CPBPAPCBAP--六、关于“积事件”)./()()/()()(ABPAPBAPBPABP(1)任意事件：(2)独立事件：)()()(BPAPABP七、关于“复杂事件”(1)全概率公式设,,,,21nAAA是一完备事件组,且,0)(iAP,,2,1i则对任一事件B,有)()()()()(2211ABPAPABPAPBP)A(B)(nPAPn).()(iiiABPAP(2)贝叶斯公式设,,,,21nAAA是一完备事件组,任一事件,0)(,BPB则对有)()()(BPBAPBAPiijjjiiABPAPABPAP)()()()(,,2,1i注:公式中,)(iAP和)(BAPi分别称为原因的先验概率和后验概率.全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率.它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用的结果.例18支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶,求所用的枪是校准过的概率.解设1B{使用的枪校准过},2B{使用的枪未校准},A{射击时中靶},则21,BB是的一个划分,解设1B{使用的枪校准过},2B{使用的枪A{射击时中靶},则21,BB是的一个划分,且未校准},由贝叶斯公式,得.4940)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP这样,所用的枪是校准过的概率为.4940,85)(1BP,83)(2BP,8.0)|(1BAP.3.0)|(2BAP完第二章一维随机变量及其分布一、随机变量随机变量的引入，使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系表达出来.例如，某城市的120急救电话每小时收到的呼唤次数X是一个随机变量.事件：{收到不少于20次呼叫}{收到恰好为10次呼叫}}20{X}10{X随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则以动态的观点来研究之.随机变量因其取值方式的不同，离散型随机变量连续型随机变量通常分为两类：二、分布函数}{)(xXPxF1、分布函数的性质(1)若,21xx则);()(21xFxF单调非减.(2);1)(lim)(,0)(lim)(--xFFxFFxx(3)右连续性.即).()(lim00xFxFxx另一方面，若一个函数具有上述性质，则它一定是某个随机变量的分布函数.（即该性质是判定分布函数的充要条件）2、分布函数的求法(1)}{)(xXPxF}{ixxxXPixxiip离散型：如图，)(xF是一个阶它在ixx),2,1(i有跳跃，梯函数，跳跃度恰为随机变量ixx点处的概率X在)(xFxO2x1x3x......1p3p2p(2)连续型：-xdttfxXPxF,)(}{)(3、分布函数的有关计算公式-badxxfaFbFbXaP)()()(}{Oxy)(xfx)(xFOxy)(xfa}{bXaPb,2,1,}{ipxXPii1、分布密度的性质三、分布密度（概率密度）离散型：连续型：(1);,2,1,0ipi(2).1iip离散型：连续型：;0)(xf-.1)(dxxf)x(f2、分布密度的求法)()(xfxF例1设随机变量X具有概率密度.,043,2230,)(-其它xxxkxxf(1)确定常数;k(2)求X的分布函数);(xF(3)求}.2/71{XP解由-,1)(dxxf得解得,6/1k,1224330-dxxkxdx(1)例1设随机变量X具有概率密度.,043,2230,)(-其它xxxkxxf(2)求X的分布函数);(xF解X的分布函数为)(xF-4,143,22630,60,03030xxdttdttxdttxxx解)(xF-4,143,22630,60,03030xxdttdttxdttxxx,0,122x,4232xx--,10x30x43x4x.例1设随机变量X具有概率密度.,043,2230,)(-其它xxxkxxf(3)求}.2/71{XP解2/71)(}2/71{dxxfXP-2/73312261dxxxdx2/73231242121-xxx,4841或)1()2/7(}2/71{FFXP-.48/41例2设随机变量X的分布函数为,1,110,0,0)(2xxxxxF求(1)概率};7.03.0{XP(2)X的密度函数.解由连续型随机变量分布函数的性质,有(1))3.0()7.0(}7.03.0{FFXP-;4.03.07.022-(2)X的密度函数为例2设随机变量X的分布函数为,1,110,0,0)(2xxxxxF求(2)X的密度函数.解(2)X的密度函数为xxxx1,010,20,0.,010,2其它xx)()(xFxf完3、重要分布（6个）),10(p则称X服从21,xx处,1}{2pxXP-,}{pxXPip的两点分布.参数为（1）即Xip01p-1p)2,1(i或称X服从参数为p的10-分布.p)X(E).p(p)X(D-1（2）).p,n(B~X,)1(}{knkknppCkXP--nk,,1,0则称X服从参数为的二项分布,,np在独立重复试验中,事件A发生的概率为,p设X为直到A发生为止所进行的次数,,)1(}{1ppkXPk--,10p称X服从参数为p的几何分布.1k注则np)X(E).p(np)X(D-1（3）).(~X,e!k}kX{Pk-,2,1,0k注当n很大,p很小时有,!)1(---ekppCkknkknnp下列近似公式：)X(E.)X(D-,0,1)(abxfbxa其它).,(baU（3）~X--,1,