2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题二函数与导数刺第3讲导数及其应用第1课时导数与函数性质课

第1课时导数与函数性质考情分析总纲目录考点一导数的几何意义考点二利用导数研究函数的单调性考点三利用导数研究函数的极值(最值)1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).第1课时导数与函数性质考点一导数的几何意义2.四个易错导数公式(1)(sinx)'=cosx;(2)(cosx)'=-sinx;(3)(ax)'=axlna(a0且a≠1);(4)(logax)'= (a0且a≠1).1lnxa典型例题(1)(2017课标全国Ⅰ,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为.(2)(2017云南第一次统考)已知函数f(x)=axlnx+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b=.1x答案(1)x-y+1=0(2)4解析(1)∵y=x2+ ,∴y'=2x- ,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.(2)由题意,得f'(x)=alnx+a,所以f'(1)=a,因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,则2×1-b=0,所以b=2,故a+b=4.1x21x方法归纳求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程;(2)已知切线的斜率k,求切线方程设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程;(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.跟踪集训1.(2017广东广州综合测试(一))设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为 ()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)答案D由题意知,f'(x)=3x2+2ax,所以曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率为f'(x0)=3 +2ax0,又切线方程为x+y=0,所以x0≠0,且 解得 或 所以当 时,点P的坐标为(1,-1);当 时,点P的坐标为(-1,1),故选D.20x20032000321,0,xaxxxax02,1ax02,1,ax01,2xa01,2xa2.(2017四川成都第二次检测)若曲线y=f(x)=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是 ()A. B. C.(0,+∞)D.[0,+∞)1,21,2答案Df'(x)= +2ax= (x0),根据题意有f'(x)≥0(x0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x0)恒成立,即2a≥- (x0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).故选D.1x221axx21x3.(2017四川成都第一次检测)已知曲线C1:y2=tx(y0,t0)在点M 处的切线与曲线C2:y=ex+1+1也相切,则t的值为 ()A.4e2B.4eC. D. 4,2t2e4e4答案A由y= ,得y'= ,则切线斜率为k= ,所以切线方程为y-2=  .即y= x+1.设切线与曲线y=ex+1+1的切点为(x0,y0).由y=ex+1+1,得y'=ex+1,则由 = ,得切点坐标为 ,故切线方程又可表示为y- -1=  ,即y= x- ln + +1,所以由题意,得- ln + +1=1,即ln =2,解得t=4e2,故选A.tx2ttx4t4t4xt4t01ex4tln1,144tt4t4tln14tx4t4t4t2t4t4t2t4t考点二利用导数研究函数的单调性导数与函数单调性的关系(1)f'(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.(2)f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f'(x)=0时,则f(x)为常数函数,函数不具有单调性.典型例题(2017课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.解析(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)0.故f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.③若a0,则由f'(x)=0得x=ln .当x∈ 时,f'(x)0;当x∈ 时,f'(x)0.故f(x)在 单调递减,在 单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna,从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0.③若a0,则由(1)得,当x=ln 时,f(x)取得最小值,最小值为f =2a,ln2aln,2a,ln2aln,2a2aln2aa2 .从而当且仅当a2 ≥0,即a≥-2 时,f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2 ,1].3ln42a3ln42a34e34e方法归纳根据函数y=f(x)在(a,b)上的单调性求参数范围的方法(1)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递增,转化为f'(x)≥0在(a,b)上恒成立求解.(2)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递减,转化为f'(x)≤0在(a,b)上恒成立求解.(3)若函数y=f(x)在(a,b)上单调,转化为f'(x)在(a,b)上不变号,即f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立.(4)若函数y=f(x)在(a,b)上不单调,f'(x)在(a,b)上有变号零点.跟踪集训1.(2017甘肃张掖第一次诊断考试)若函数f(x)= - x2+x+1在区间 上单调递减,则实数a的取值范围是 ()A. B. C. D. 33x2a1,325,210,3510,23105,32答案Bf'(x)=x2-ax+1,∵函数f(x)在区间 上单调递减,∴f'(x)≤0在区间 上恒成立,∴ 即 解得a≥ ,∴实数a的取值范围为 .1,321,321'0,2'(3)0,ff1110,429310,aa10310,32.(2017河北石家庄质量检测(二))已知函数f(x)=mlnx,g(x)= (x0).(1)当m=1时,求曲线y=f(x)·g(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性.1xx解析(1)当m=1时,y=f(x)·g(x)= ,y'= = ,x=1时,切线的斜率k=y'|x=1= ,又切线过点(1,0),所以切线方程为y= (x-1),即x-2y-1=0.(2)由已知得,F(x)=mlnx- ,所以F'(x)= - = = ,当m≤0时,F'(x)0,函数F(x)在(0,+∞)上单调递减;当m0时,令k(x)=mx2+(2m-1)x+m,Δ=(2m-1)2-4m2=1-4m,当Δ≤0,即m≥ 时,k(x)≥0恒成立,此时F'(x)≥0,函数F(x)在(0,+∞)上单ln1xxx2(1ln)(1)ln(1)xxxxx2ln1(1)xxx12121xxmx21(1)x22(1)(1)mxxxx22(21)(1)mxmxmxx14调递增,当Δ0,即0m 时,方程mx2+(2m-1)x+m=0有两个不相等的实数根,设为x1,x2,并令x1x2,则 所以0x11x2,其中x1= ,x2= ,此时,函数F(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减.综上所述,当m≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减;当0m 时,F(x)在 上单调递减;在 , 上单调递增;14121212122,1,mxxmmxx12142mmm12142mmm1412141214,22mmmmmm12140,2mmm1214,2mmm当m≥ 时,F(x)在(0,+∞)上单调递增.14考点三利用导数研究函数的极值(最值)导数与函数的极值、最值的关系(1)若在x0附近左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.典型例题(2017山东,20,13分)已知函数f(x)= x3- ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g'(x)=f'(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx1312=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令h(x)=x-sinx,则h'(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.①当a0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,a)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sina,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sinx),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,0)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;16当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sina.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调