高中数学选修1-1第三章复习小结

第三章导数及其应用复习小结本章知识结构导数导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线变速运动的速度最优化问题一、导数的概念：1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f’(x0)，或y|；0000()()limlimxxfxxfxyxx0xx核心知识归纳2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=0()()limxfxxfxx3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f’(x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为yy0=f’(x0)·(x－x0)．4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度v就是路程s对于时间t的导数，即v(t)=s’(t).1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x二、基本初等函数的导数公式三、导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgxg法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内四、函数的单调性研究aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f’(x)0，在a右侧附近f’(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.五、函数的极值1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)0，在b右侧附近f’(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．六、函数的最大值与最小值：1.定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.2.存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．3.求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)内的极值；②将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.例1．已经曲线C：y=x3-x+2和点A(1,2)。求点A处的切线方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x典例归纳考点一：导数的几何意义经典结论1.曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线2.曲线y＝fx过点Px0，y0的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.变式拓展：求过点A的切线方程？解：设切点为P（x0，x03－x0+2），∴切线方程为y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)21又∵切线过点A(1,2)∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化简得(x0－1)2(2x0+1)=0，21-14①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x解得x0=1或x0=k=f/(x0)=3x02－1，②当x0=－时，所求的切线方程为：y－2=－(x－1),即x+4y－9=0针对训练：求曲线3232fxxxx过原点的切线方程.解:2362fxxx.设切线斜率为k,(1)当切点是原点时,02kf,所以所求曲线的切线方程为2yx.(2)当切点不是原点时,设切点是00,xy,则有32000032yxxx,即2000032ykxxx,又2000362kfxxx,故得00031,24yxkx,所求曲线的切线方程为14yx.考点二：利用导数研究函数的单调性典例归纳经典结论[例2](2016·葫芦岛模拟)已知x＝1是f(x)＝2x＋bx＋lnx的一个极值点．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)＝f(x)－3＋ax，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求实数a的取值范围．(1)因为f(x)＝2x＋bx＋lnx，所以f′(x)＝2－bx2＋1x，因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋lnx的一个极值点，所以f′(1)＝2－b＋1＝0，解得b＝3，经检验，符合题意，所以b＝3.则函数f(x)＝2x＋3x＋lnx，其定义域为(0，＋∞)．令f′(x)＝2－3x2＋1x0，解得－32x1，所以函数f(x)＝2x＋3x＋lnx的单调递减区间为(0,1]．(2)因为g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋lnx－ax，所以g′(x)＝2＋1x＋ax2.因为函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在x∈[1,2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，而在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围为[－3，＋∞)．破解此类问题需注意：一是求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域；二是求得函数在多个区间单调性相同，区间之间用“，”分割，或用“和”相连，一般不用“∪”.破解此类问题需注意：一是求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域；二是求得函数在多个区间单调性相同，区间之间用“，”分割，或用“和”相连，一般不用“∪”.考点三：利用导数研究函数的极值与最值典例归纳经典结论例3已知函数3239fxxxxa.（Ⅰ）求fx的单调递减区间；（Ⅱ）若fx在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．(Ⅱ)当2,2x时x22,111,22fx0fx2a极小22a因为22fa,222fa,所以22ff.解：（Ⅰ）2369fxxx.令0fx,解得1x或3x,所以函数fx的单调递减区间为,1,3,．因为在1,3上0fx,所以fx在1,2上单调递增，又由于fx在2,1上单调递减，因此2f和1f分别是fx在区间2,2上的最大值和最小值,于是有2220a,解得2a．故32392fxxxx,因此113927f,即函数fx在区间2,2上的最小值为7．函数的极值一般是研究在开区间内的情况，而最值则多是研究在闭区间内的情况.若函数在开区间上单调，则该函数在该区间上不存在最值；若函数在开区间上有最值，则最值一定在极值点处取得，此函数在该区间上必不单调.考点四：不等式恒成立问题典例归纳经典结论(1)f′(x)＝ex－a，若a0，则f′(x)0，f(x)在R上单调递增；若a0，当x＝lna时，f′(x)＝0；当xlna时，f′(x)0；当xlna时，f′(x)0.故在(－∞，lna)上，f(x)单调递减；在(lna，＋∞)上，f(x)单调递增．(2)若a0，只需f(lna)a2－a，即－alnaa2－a，即lna＋a－10.令g(a)＝lna＋a－1，当a0时，g(a)单调递增，又g(1)＝0，则0a1.若a0，则f[ln(－a)]＝－a－a[ln(－a)＋1]＝－aln(－a)－2a，f[ln(－a)]－(a2－a)＝－aln(－a)－a2－a＝－a[ln(－a)＋a＋1]．因为ln(－a)＋a＋1≤0，所以－a[ln(－a)＋a＋1]≤0，则f[ln(－a)]≤a2－a，不合要求．综上所述，a的取值范围是0a1.解：考点五：利用导数证明不等式典例归纳经典结论(1)因为切线x＋y－1＝0过点(0,1)且斜率为－1，故f(0)＝1，f′(0)＝－1.又f(0)＝(a·0＋b)e0＝b，故b＝1.又f′(x)＝ae－2x－2(ax＋b)e－2x＝(－2ax＋a－2b)e－2x，故f′(0)＝a－2b＝－1，所以a＝1.(2)由(1)知f′(x)＝－(2x＋1)e－2x0(0x1)，因此f(x)在(0,1)内为减函数，从而当0x1时，2e－2＝f(1)f(x)f(0)＝1.①令h(x)＝xlnx，则h′(x)＝1＋lnx，令h′(x)＝0，解得x＝e－1.当0xe－1时，h′(x)0，h(x)在(0，e－1)内为减函数；当e－1x1时，h′(x)0，h(x)在(e－1,1)内为增函数，从而h(x)在(0,1)内取得最小值h(e－1)＝－e－1.因此－e－1≤h(x)0(0x1)，②由①②得2e－2－e－1g(x)1(0x1)．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)0(f(x)－g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数；(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))；(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.考点六：利用导数研究方程根(函数零点)的问题典例归纳经典结论(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex，则f′(x)＝x－ex2，∴当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)0