2019-2020学年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷

第1页，共12页2019-2020学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交2.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎5=33，𝑎45=153，则201是该数列的第()项．A.60B.61C.62D.633.方程𝑥(𝑥2+𝑦2−1)=0和𝑥2+(𝑥2+𝑦2−1)2=0所表示的图形是()A.前后两者都是一条直线和一个圆B.前后两者都是两点C.前者是一条直线和一个圆，后者是两点D.前者是两点，后者是一条直线和一个圆4.直线2𝑥−𝑦+3=0关于直线𝑥−𝑦+2=0对称的直线方程是()A.𝑥−2𝑦+3=0B.𝑥−2𝑦−3=0C.𝑥+2𝑦+1=0D.𝑥+2𝑦−1=05.数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=2，𝑎6=0且数列{1𝑎𝑛+1}是等差数列，则𝑎4等于()A.12B.13C.14D.166.经过点𝑀(1,1)且在两轴上截距相等的直线是()A.𝑥+𝑦=2B.𝑥+𝑦=1C.𝑥=1或𝑦=1D.𝑥+𝑦=2或𝑥−𝑦=07.直线𝑥+(𝑎2+1)𝑦+4=0的倾斜角的取值范围是()A.[0,𝜋4]B.[3𝜋4,𝜋)C.[0,𝜋4]∪(𝜋2,𝜋)D.[𝜋4,𝜋2)∪[3𝜋4,𝜋)8.焦点在y轴上的椭圆𝑚𝑥2+𝑦2=1的离心率为√32，则m的值为()A.1B.2C.3D.49.等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是()A.𝑑875B.𝑑325C.875𝑑325D.875𝑑≤32510.已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)上的点A到焦点F距离为4，若在y轴上存点𝐵(0,2)使得𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0，则该抛物线的方程为()A.𝑦2=8𝑥B.𝑦2=6𝑥C.𝑦2=4𝑥D.𝑦2=2𝑥11.已知点(𝑥,𝑦)在圆(𝑥−2)2+(𝑦+3)2=1上，则𝑥+𝑦的最大值是()A.1B.−1C.√2−1D.−√2−112.已知{𝑎𝑛}是首项为32的等比数列，𝑆𝑛是其前n项和，且𝑆6𝑆3=6564，则数列{|log2𝑎𝑛|}前10项和为()A.58B.56C.50D.45二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为______升．第2页，共12页14.设等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎5=11，𝑎12=−3，{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛的最大值为M，则𝑙𝑔𝑀=______．15.已知𝐹1，𝐹2分别是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左、右焦点，若直线l：𝑥=𝑎2𝑐上存在一点P，使得线段𝑃𝐹1的垂直平分线过点𝐹2，则该椭圆离心率的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.设𝑓(𝑥)=12𝑥+√2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得𝑓(−5)+𝑓(−4)+⋯+𝑓(0)+⋯+𝑓(5)+𝑓(6)的值是______．17.如图所示，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐴𝐴1=2，M是棱𝐶𝐶1的中点．证明：平面𝐴𝐵𝑀⊥平面𝐴1𝐵1𝑀.18.过点𝑃(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．(Ⅰ)当△𝐴𝑂𝐵面积最小时，求直线l的方程；(Ⅱ)当|𝑂𝐴|+|𝑂𝐵|取最小值时，求直线l的方程．19.圆𝑥2+𝑦2=4上一定点𝐴(2,0)，𝐵(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠𝑃𝐵𝑄=90∘，求线段PQ中点的轨迹方程第3页，共12页20.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率𝑒=√32，已知点𝑃(0,32)到椭圆的最远距离是√7，求椭圆的标准方程．21.已知四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面为直角梯形，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐵=90°，𝑃𝐴⊥底面ABCD，且𝑃𝐴=𝐴𝐷=𝐷𝐶=12，𝐴𝐵=1，M是PB的中点．(Ⅰ)证明：平面𝑃𝐴𝐷⊥平面PCD；(Ⅱ)求AC与PB所成的角余弦值；(Ⅲ)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．22.已知点𝐹(1,0)，点P为平面上的动点，过点P作直线l：𝑥=−1的垂线，垂足为Q，且𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝑄⃗⃗⃗⃗⃗．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求|𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围．第4页，共12页答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题．取BD中点E，连结AE、CE，由已知条件推导出𝐵𝐷⊥平面AEC，从而得到𝐵𝐷⊥𝐴𝐶．【解答】解：取BD中点E，连结AE、CE．∵𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐶𝐷，∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，且AE、CE为平面ACE内两条相交直线，∴𝐵𝐷⊥平面AEC．又𝐴𝐶⊂平面AEC，∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶．故选：C．2.【答案】B【解析】解：∵数列{𝑎𝑛}为等差数列又∵𝑎5=33，𝑎45=153，∴𝑑=3则𝑎𝑛=𝑎45+3(𝑛−45)当𝑎𝑛=153+3(𝑛−45)=201时𝑛=61故选B由已知中等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎5=33，𝑎45=153，我们易求出数列的公差，进而得到数列的通项公式，根据𝑎𝑛=201，构造关于n的方程，解方程即可得到答案．本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中根据已知条件求出等差数列的通项公式，是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：方程𝑥(𝑥2+𝑦2−1)=0，即𝑥=0或𝑥2+𝑦2=1，表示一条直线和一个圆；方程𝑥2+(𝑥2+𝑦2−1)2=0，即𝑥2=0并且𝑥2+𝑦2−1=0，表示是两点(0,1)和(0,−1)．故选：C．分别将方程化简，即可得到相应的图形．本题考查曲线和方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为直线𝑥−𝑦+2=0的斜率为1，故有{𝑥=𝑦−2𝑦=𝑥+2将其代入直线2𝑥−𝑦+3=0即得：2(𝑦−2)−(𝑥+2)+3=0，整理即得𝑥−2𝑦+3=0．故选：A．利用当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．5.【答案】A第5页，共12页【解析】解：根据题意，设𝑏𝑛=1𝑎𝑛+1，数列{𝑏𝑛}是等差数列，则𝑏2=1𝑎2+1=13，𝑏6=1𝑎6+1=1，则𝑏4=12(𝑏2+𝑏6)=23，即1𝑎4+1=23；解可得𝑎4=12；故选：A．根据题意，设𝑏𝑛=1𝑎𝑛+1，结合题意计算可得𝑏2、𝑏6的值，由等差数列的性质计算可得𝑏4的值，即可得1𝑎4+1=23，解可得𝑎4的值，即可得答案．本题考查等差数列的性质，关键是求出数列{1𝑎𝑛+1}的通项公式．6.【答案】D【解析】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为𝑥+𝑦=𝑎，把(1,1)代入所设的方程得：𝑎=2，则所求直线的方程为𝑥+𝑦=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为𝑦=𝑘𝑥，把(1,1)代入所求的方程得：𝑘=1，则所求直线的方程为𝑦=𝑥．综上，所求直线的方程为：𝑥+𝑦=2或𝑥−𝑦=0．故选：D．分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为𝑥+𝑦=𝑎，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为𝑦=𝑘𝑥，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．7.【答案】B【解析】解：直线𝑥+(𝑎2+1)𝑦+4=0的斜率𝑘=−1𝑎2+1∈[−1,0)，设直线的倾斜角为𝜃(0≤𝜃𝜋)，则𝑡𝑎𝑛𝜃∈[−1,0)，得𝜃∈[3𝜋4,𝜋)．故选：B．由直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础的计算题．8.【答案】D【解析】解：∵焦点在y轴上的椭圆的方程为：𝑦2+𝑥21𝑚=1，∴𝑎=1，𝑏=√𝑚𝑚，第6页，共12页∴𝑐2=𝑎2−𝑏2=1−1𝑚，∵该椭圆的离心率𝑒=𝑐𝑎=√32，∴𝑐2𝑎2=1−1𝑚=34，解得𝑚=4．故选：D．将焦点在y轴上的椭圆的方程标准化：𝑦2+𝑥21𝑚=1，可知𝑎=1，𝑏=√𝑚𝑚，利用𝑐2=𝑎2−𝑏2及其离心率𝑒=𝑐𝑎=√32，即可求得m的值．本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的离心率，属于中档题．9.【答案】D【解析】【分析】由题意可知𝑎101，𝑎9≤1，把𝑎1代入即可求得d的范围．属于一般题．本题主要考查了等差数列的通项公式的应用．要熟练记忆等差数列的通项公式．【解答】解：依题意可知，{𝑎101𝑎9≤1，∴{125+9𝑑1125+8𝑑≤1∴875𝑑≤325故选D．10.【答案】A【解析】解：由题意可得：𝐹(𝑝2,0)，𝑥𝐴+𝑝2=4，解得𝑥𝐴=4−𝑝2，取𝑦𝐴=√2𝑝(4−𝑝2)=√8𝑝−𝑝2.∴𝐴(4−𝑝2,√8𝑝−𝑝2).∵𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0，∴𝑝2(4−𝑝2)−2(√8𝑝−𝑝2−2)=0，∴(√8𝑝−𝑝2−4)2=0，解得𝑝=4.经过检验满足条件．∴该抛物线的方程为𝑦2=8𝑥．故选：A．由题意可得：𝐹(𝑝2,0)，𝑥𝐴+𝑝2=4，解得𝑥𝐴=4−𝑝2，取𝐴(4−𝑝2,√8𝑝−𝑝2).利用𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0，即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C第7页，共12页【解析】解：设(𝑥−2)2+(𝑦+3)2=1上一点𝑃(𝑐𝑜𝑠𝛼+2,𝑠𝑖𝑛𝛼−3)，则𝑥+𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼−1=√2sin(𝛼+𝜋4)−1≤√2−1，故选：C．设圆上一点𝑃(𝑐𝑜𝑠𝛼+2,𝑠𝑖𝑛𝛼−3)，则𝑥+𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼−1，利用三角函数求最值，得出结论．考查圆的参数方程的应用，中档题．12.【答案】A【解析】解：∵{𝑎𝑛}是首项为32的等比数列，𝑆𝑛是其前n项和，且𝑆6𝑆3=6564，∴32(1−𝑞6)1−𝑞32(1−𝑞3)1−𝑞=6564，∴1+𝑞3=6564，∴𝑞=14∴𝑎𝑛=32⋅(14)𝑛−1=27−2𝑛，∴|log2𝑎𝑛|=|7−2𝑛|，∴数列{|log2𝑎𝑛|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故选：A．由{𝑎𝑛}是首项为32的等比数列，𝑆𝑛是其前n项和，且𝑆6𝑆3=6564，求出q，可得𝑎𝑛=32⋅(14)𝑛−1=27−2𝑛，再求