2020年高考文科数学一轮复习导学案选修45不等式选讲

选修4－5不等式选讲[基础梳理]1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集：不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}∅∅|x|a{x|xa或x－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c全为正实数，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．4．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．1．一组重要关系|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a＞－b＞0时，等号成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．两个等价关系(1)|x|＜a⇔－a＜x＜a(a＞0)．(2)|x|＞a⇔x＜－a或x＞a(a＞0)．3．一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．4．一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来．”[四基自测]1．不等式|x－1|1的解集为()A．(1，2)B．(0，2)C．(－1，1)D．(0，1)答案：B2．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集为________．答案：(－∞，4)3．不等式|x＋1||x－1|的解集为________．答案：(0，＋∞)4．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为x－53＜x＜13，则a＝________．答案：－3考点一解绝对值不等式◄考基础——练透[例1](2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象．(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．解析：(1)如图所示：(2)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x＜32，4－x，x≥32，|f(x)|＞1，当x≤－1时，|x－4|＞1，解得x＞5或x＜3，所以x≤－1.当－1＜x＜32时，|3x－2|＞1，解得x＞1或x＜13，所以－1＜x＜13或1＜x＜32.当x≥32时，|4－x|＞1，解得x＞5或x＜3，所以32≤x＜3或x＞5.综上，x＜13或1＜x＜3或x＞5，所以|f(x)|＞1的解集为－∞，13∪(1，3)∪(5，＋∞).含绝对值不等式的解法方法解读适合题型公式法利用公式|x|a⇔－axa(a0)和|x|a⇔xa或x－a(a0)直接求解不等式|f(x)|g(x)或|f(x)|g(x)平方法利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负|f(x)|≥|g(x)|⇔f2(x)≥g2(x)零点分段法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a续表方法解读适合题型图象法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数如|f(x)|＋|g(x)|≥a可构造y＝|f(x)|＋|g(x)|－a或y＝|f(x)|＋|g(x)|与y＝a几何意义法|x－a|＋|x－b|m(a0，b0，m0)表示数轴上点x到a的距离与到b的距离之和大于m形如|x－a|±|x－b|m的形式(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数ƒ(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式ƒ(x)≥0的解集；(2)若ƒ(x)≤1，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，ƒ(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1＜x≤2，－2x＋6，x＞2.可得ƒ(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)ƒ(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故ƒ(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．考点二绝对值不等式成立求参数◄考能力——知法[例2](2018·高考全国卷Ⅰ)已知ƒ(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式ƒ(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式ƒ(x)＞x成立，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，ƒ(x)＝|x＋1|－|x－1|，即ƒ(x)＝－2，x≤－1，2x，－1＜x＜1，2，x≥1.故不等式ƒ(x)＞1的解集为xx＞12.(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|＜1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为x0＜x＜2a，所以2a≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]．巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值(1)求|a|－|b|的范围：若a±b为常数M，可利用||a|－|b||≤|a±b|⇔－|M|≤|a|－|b|≤|M|确定范围．(2)求|a|＋|b|的最小值：若a±b为常数M，可利用|a|＋|b|≥|a±b|＝|M|，从而确定其最小值．(2019·大庆模拟)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.(1)解不等式：f(x)0；(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．解析：(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|0，当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋40，解得x5，即不等式组x≤－4|2x－1|－|x＋4|0的解集是{x|x≤－4}．当－4x12时，不等式化为1－2x－x－40，解得x－1，即不等式组－4x12|2x－1|－|x＋4|0的解集是{x|－4x－1}．当x≥12时，不等式化为2x－1－x－40，解得x5，即不等式组x≥12|2x－1|－|x＋4|0的解集是{x|x5}．综上，原不等式的解集为{x|x－1或x5}．(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9.∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，故所求a的取值范围是{a|－8≤a≤10}．考点三不等式的证明◄考基础——练透[例3](2017·高考全国卷Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋b）24(a＋b)＝2＋3（a＋b）34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.证明不等式的方法与技巧(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求时，利用综合法．(2)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略．绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据．1．已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8.(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明：(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.2．已知函数f(x)＝|x－12|＋|x＋12|，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.解析：(1)f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12x12，2x，x≥12.当x≤－12时，由f(x)2得－2x2，解得x－1；当－12x12时，f(x)2；当x≥12时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集M＝{x|－1x1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)0.因此|a＋b||1＋ab|.课时规范练A组基础对点练1．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∃x∈R，使得f(x)＜2成立，求实数a的取值范围．解析：(1)若a＝－1，f(x)≥3，即为|x－1|＋|x＋1|≥3，当x≤－1时，1－x－x－1≥3，即有x≤－32；当－1＜x＜1时，1－x＋x＋1＝2≥3不成立；当x≥1时，x－1＋x＋1＝2x≥3，解得x≥32.综上可得，f(x)≥3的解集为－∞，－32∪32，＋∞；(2)∃x∈R，使得f(x)＜2成立，即有2＞f(x)min，由函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|x－1－x＋a|＝|a－1|，当(x－1)(x－a)≤0时，取得最小值|a－1|，则|a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，解得－1＜a＜3.则实数a的取值范围为(－1，3)．2．设函数f(x)＝x－52＋|x－a|，x∈R.(1)当a＝－12时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．解析：(1)f(x)＝x－52＋x＋12＝－2x＋2，x＜－12，3，－12≤x≤52，2x－2，x＞52.由f(x)≥4得x＜－12，－2x＋2≥4或x＞52，2x－2≥4.解得x≤－1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．(2)由绝对值的性质得f(x)＝x－52＋|x－a|≥x－52－（x－a）＝a－52，所以f(x)的最小值为a－52，从而a－52≥a，解得a≤54，因此a的最大值为54.3．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．解析：(1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2＜x＜3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|