2020年高考文科数学一轮复习导学案第6章不等式推理与证明

第一节不等式的性质及一元二次不等式[基础梳理]1．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔ba.(2)传递性：ab，bc⇒ac.(3)可加性：ab⇒a＋cb＋c.(4)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.(5)加法法则：ab，cd⇒a＋cb＋d.(6)乘法法则：ab0，cd0⇒acbd.(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)．(8)开方法则：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b.(2)a0b⇒1a1b.(3)ab0,0cd⇒acbd.3．两个实数比较大小的依据(1)a－b0⇔ab.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b0⇔ab.4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}1．两个重要不等式若a＞b＞0，m＞0，则(1)ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)．(2)ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．2．一元二次不等式的解法技巧求不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，先求出对应方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集．3．分式不等式的转化fxgx＞0⇔f(x)·g(x)＞0fxgx≥0⇔fx·gx≥0gx≠0fxgx≤0⇔fx·gx≤0gx≠0[四基自测]1．下列四个结论，正确的是()①ab，cd⇒a－cb－d；②ab0，cd0⇒acbd；③ab0⇒3a3b；④ab0⇒1a21b2.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．不等式x(9－x)0的解集为()A．(0,9)B．(9，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(9，＋∞)答案：D3．若函数y＝mx2－1－mx＋m的定义域为R，则m的取值范围是________．答案：[13，＋∞)4．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设f(x)＝x＋1x≤0x2x0，则f(x)≥1的解集为__________．答案：{0}∪[1，＋∞)5．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，则不等式1＜f(x＋1)＜f(x)的解集为________．答案：(－∞，－1)考点一比较大小及不等式性质◄考基础——练透[例1](1)已知a0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，则()A．m≥nB．mnC．mnD．m≤n解析：由题易知m0，n0，两式作商，得mn＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当a1时，a(a－1)0，所以aa(a－1)a0＝1，即mn；当0a1时，a(a－1)0，所以aa(a－1)a0＝1，即mn.综上，对任意的a0，a≠1，都有mn.答案：B(2)已知a0，b0，且a≠b，则()A．ab＋1a＋bB．a3＋b3a2b＋ab2C．2a3b3a2bD．aabbabba解析：选项A(作差法)，ab＋1－(a＋b)＝ab－a＋(1－b)＝a(b－1)＋(1－b)＝(a－1)(b－1)，显然当a，b中有一个等于1时，(a－1)(b－1)＝0，即ab＋1＝a＋b；故选项A不正确．选项B(作差法)，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．因为a0，b0，a≠b，所以a＋b0，(a－b)20，故(a－b)2(a＋b)0，即a3＋b3a2b＋ab2，故选项B正确．答案：B作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解决比较大小问题的基本方法；作商法适用于幂指数形式的代数式以及整式的比较大小问题．破解此类题的关键点：(1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商．(2)变形，即把差式或商式进行等价变形，化简，以便于判断差或商的大小．(3)定值，即判断差与0的大小，或商与1的大小．(4)定号，即根据差与0的大小关系，或商与1的大小关系确定两数或两式的大小关系．角度2利用不等式性质比较大小[例2](1)已知xyz，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xyyzB．xzyzC．xyxzD．x|y|z|y|解析：因为xyz，x＋y＋z＝0，所以3xx＋y＋z＝0，所以x0，又yz，所以xyxz，故选C.答案：C(2)若ab，则下列各式正确的是()A．a·lgxb·lgxB．ax2bx2C．a2b2D．a·2xb·2x解析：已知ab，选项A，由已知不等式两边同乘lgx得到，由不等式的性质可知，当lgx0时，a·lgxb·lgx；当lgx＝0时，a·lgx＝b·lgx；当lgx0时，a·lgxb·lgx．故该选项不正确．选项B，由已知不等式两边同乘x2得到，由不等式的性质可知，当x20时，ax2bx2；当x2＝0时，ax2＝bx2.故该选项不正确．选项C，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当ab0时，a2b2；当a0b且|a||b|时，a2b2.故该选项不正确．选项D，由已知不等式两边同乘2x得到，且2x0，所以a·2xb·2x.故该选项正确．答案：D不等式的性质法就是根据已知不等关系，确定已知不等关系向所比较代数式转化的过程，然后利用不等式的性质判断代数式大小的一种方法．适用于基本初等函数代数式的比较大小问题．破解此类题的关键点：(1)明已知，明确已知的不等关系．(2)定变形，确定由已知不等关系变为要比较大小的代数式的过程．(3)寻性质，确定变化过程所使用的不等式的性质．(4)得结果，正确运用不等式的性质判断两者的大小关系．角度3构造函数法比较大小[例3](1)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋11y2＋1B．ln(x2＋1)ln(y2＋1)C．sinxsinyD．x3y3解析：∵axay,0a1，∴xy，∴x3y3.答案：D(2)已知a＝13ln94，b＝45ln54，c＝14ln4，则()A．abcB．bacC．cabD．bca解析：a＝13ln94＝13ln322＝23ln32＝ln3232，b＝45ln54＝ln5454，c＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.故构造函数f(x)＝lnxx，则a＝f32，b＝f54，c＝f(2)．因为f′(x)＝1x×x－1×lnxx2＝1－lnxx2，由f′(x)＝0，解得x＝e.故当x∈(0，e)时，f′(x)0，函数f(x)在(0，e)上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．因为54322e，所以f54f32f(2)，即bac.故选B.答案：B构造函数比较代数式的大小就是通过构造函数把要比较的代数式转化为该函数的函数值，然后根据函数的单调性以及自变量的大小关系确定函数值的大小，从而达到解决问题的目的．此方法适用于有共同特征的两个或多个数值的大小比较问题．1．若ab0，则下列不等式不成立的是()A.1a1bB．|a||b|C．a＋b2abD.12a12b解析：∵ab0，∴1a1b，且|a||b|，a＋b2ab，又f(x)＝12x是减函数，∴12a12b.故C项不成立．答案：C2．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则()A.1x－1y＞0B．sinx－siny＞0C．(12)x－(12)y＜0D．lnx＋lny＞0解析：1x－1y＝y－xxy＜0；当x＝π，y＝π2时，sinx－siny＜0；函数y＝(12)x在R上单调递减，所以(12)x＜(12)y，即(12)x－(12)y＜0.当x＝1，y＝12时，lnx＋lny＜0.答案：C考点二一元二次不等式的解法◄考基础——练透[例4](1)不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)(2)解不等式x2－4ax－5a20(a≠0)．解析：(1)－x2－3x＋40⇒(x＋4)(x－1)0.如图，作函数y＝(x＋4)(x－1)的图象，∴当－4x1时，y0.(2)由x2－4ax－5a20，知(x－5a)(x＋a)0.由于a≠0，故分a0与a0讨论．当a0时，x5a或x－a；当a0时，x－a或x5a.综上，a0时，解集为{x|x5a或x－a}；a0时，解集为{x|x5a或x－a}．答案：(1)(－4,1)(2)见解析方法解读适合题型“二次关系数形结合”化为“ax2＋bx＋c0”(a0)的形式，求方程ax2＋bx＋c＝0的根，结合图象，写出解集“大于取两边，小于取中间”不含参数的一元二次不等式讨论参数法①二次项中的系数含参数，讨论等于0，小于0，大于0；②方程根个数不定，讨论Δ与0的关系；③根的大小不定时，讨论两根大小含参数的不等式1．将本例(1)的不等式改为“－x2－3x＋4≤0”，其解集为________．解析：由－x2－3x＋4≤0得x2＋3x－4≥0，即(x＋4)(x－1)≥0，∴x≥1或x≤－4.答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)2．将本例(1)的不等式变为“x2－3x＋40”，其解集为________．解析：令y＝x2－3x＋4，∵Δ＝(－3)2－4×40，y0恒成立．∴x∈R.答案：R3．将本例(2)变为“x2－4ax－5a20”，如何求解．解析：由例(2)知，(1)若a＝0，不等式为x20解集为{x|x≠0}，(2)当a0,5a－a，解集为{x|x5a或x－a}，(3)当a0,5a－a，解集为{x|x5a或x－a}．考点三不等式恒成立问题◄考能力——知法角度1在R上恒成立问题[例5](1)(2019·武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0)B．[－3,0]C．[－3,0)D．(－3,0]解析：(1)由题意可得k0，Δ＝k2－8k×－380，解得－3k0，故选A.答案：A(2)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案：[－8,4]二次不等式在R上恒成立，一般采用判别式法，即(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是a0，Δ≤0；(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是a0，Δ≤0.角度2在给定x的区间上恒成立问题[例6](1)(2019·郑州调研)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12都成立，则a的最小值是________．解析：法一：由于x0，则由已知可得a≥－x－1x在x∈0，12上恒成立，而当x∈0，12时，－x－1xmax＝－52，∴a≥－52，故a的最小值