2020年高考文科数学一轮复习导学案第4章平面向量数系的扩充与复数

第一节平面向量的概念及线性运算[基础梳理]1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量，常用a或AB→表示．(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的长度叫做向量的模，记作|a|或|AB→|.(3)几个特殊向量：特点名称长度(模)方向零向量0任意单位向量__1__任意相等向量相等相同相反向量相等相反平行向量相同或相反2.向量的加法、减法与数乘定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)续表定义法则(或几何意义)运算律数乘实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.4．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.6．平面向量的坐标运算向量的加法、减设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b法＝(x1－x2，y1－y2)向量的数乘设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)7.向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．与向量a共线的单位向量为±a|a|.2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．3．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则OA→＝λOB→＋μOC→且λ＋μ＝1.4．若AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．5．P为线段AB的中点⇔OP→＝12(OA→＋OB→)．6．G为△ABC的重心⇔GA→＋GB→＋GC→＝0⇔OG→＝13(OA→＋OB→＋OC→)(O是平面内任意一点)．7．P为△ABC的外心⇔|PA→|＝|PB→|＝|PC→|.8．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.9．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.[四基自测]1．(教材改编)如图所示，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A.AP→＝13AB→B.AQ→＝23AB→C.BP→＝－23AB→D.AQ→＝BP→答案：D2．已知AB→＝(－m，－5n)，BC→＝(－2m,8n)，CD→＝(3m，－3n)，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线答案：A3．已知△ABC，设D是BC边的中点，用AB→与AC→表示向量AD→，则AD→＝________.答案：12AB→＋12AC→4．在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为________．答案：矩形5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若a＝(－1,2)，b＝(m,1)，当a⊥b时，则a＋b＝__________.答案：(1,3)高考总复习数学(文)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入考点一向量的基本概念◄考基础——练透[例1](1)给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③在ABCD中，一定有AB→＝DC→；④若m＝n，n＝p，则m＝p；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的个数是()A．2B．3C．4D．5(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：(1)两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确．(2)①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．答案：(1)B(2)C把握向量有关概念的关键点(1)定义，方向和长度，二者缺一不可；向量无大小．(2)非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点无关；非零向量的平行也具有传递性．(3)相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性．(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；a|a|是与a同方向的单位向量．(5)零向量，方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解析：由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使a＝λb.答案：D2．在下列选项中，“a∥b”的充分不必要条件是()A．a，b都是单位向量B．|a|＝|b|C．|a＋b|＝|a|－|b|D．存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0解析：a，b都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A错误；|a|＝|b|，但方向不定，故B错误；|a＋b|＝|a|－|b|，若a，b都是非零向量，则a，b反向共线，且|a|＞|b|；若a，b中恰有一个零向量，则a≠0，b＝0；若a＝b＝0，则a，b也符合|a＋b|＝|a|－|b|，所以“|a＋b|＝|a|－|b|”⇒“a∥b”，而“a∥b”⇒/“|a＋b|＝|a|－|b|”，故C正确；D选项中“存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0”⇔“a∥b.”答案：C考点二共线向量定理及其应用◄考能力——知法[例2](1)已知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析：由PA→＋PB→＋PC→＝AB→知：PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→，即PC→＝－2PA→，故点P在线段AC上．答案：C(2)已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|λAM→－AB→－AC→|＝0且S△ABC＝3S△ABM，则实数λ＝________.解析：如图，设D为BC的中点，则AB→＋AC→＝2AD→，因为|λAM→－AB→－AC→|＝0，所以λAM→－AB→－AC→＝0，所以λAM→＝AB→＋AC→＝2AD→，于是A，M，D三点共线，且|AM→||AD→|＝2|λ|，又S△ABC＝3S△ABM，所以S△ABMS△ABC＝13，又因为S△ABD＝12S△ABC，且S△ABMS△ABD＝|AM→||AD→|＝2|λ|，所以13＝S△ABM2·S△ABD＝12×2|λ|，解得λ＝±3.答案：±31．准确理解共线向量定理a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．2．共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使OP→＝λOA→＋(1－λ)OB→成立”．3．含参共线问题的解法解决含有参数的共线问题时，经常要用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数的值．1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0解析：设a＝kb，∴e1＋λe2＝2ke1，∴2k＝1，λ＝0.当λ＝0时，a＝e1，∴b＝2e1.a与b共线，当e1∥e2时，a与b也共线．答案：D2．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．4解析：由O是BC中点，可得AO→＝12AB→＋12AC→，由题意知AO→＝12mAM→＋12nAN→，因为O，M，N三点共线，所以12m＋12n＝1，则m＋n＝2.答案：B考点三平面向量的线性运算与基本定理◄考能力——知法角度1数形结合法求解向量[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→解析：作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.答案：A(2)(2019·南昌模拟)如图所示，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：如图所示，构造平行四边形，∵∠OCD＝90°，|OC→|＝23，∠COD＝30°，∴|CD→|＝23×33＝2＝|OE→|＝|μ|，|OD→|＝23cos30°＝|λ|＝4，∴λ＋μ＝6.答案：6数形结合法适用于已知平面几何图形或向量等式，利用向量的模的几何意义，求解模的最值或取值范围的问题．破解此类题的关键点：(1)借形研究，即利用条件并结合图形，将相关向量用基底表示，确定相关向量的几何意义，或将相关向量坐标化，在平面直角坐标系中表示出相关向量．(2)用形解题，即利用图形的直观性，运用向量的运算法则、运算律等进行计算，即可求出向量模的最值或取值范围．角度2代数法(方程)求解向量[例4](1)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.答案：12(2)如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.解析：设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.又∵A，M，D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋12tb.∴m－1＝－t，n＝t2，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.又∵C，M，B三点共线，∴CM→与CB→共线．∴存在实数t1，使得CM→＝t1CB→，∴