2020年高考文科数学一轮复习导学案第3章三角函数解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．(2)角α的弧度数公式：|α|＝lr.(3)角度与弧度的换算：360°＝2πrad,1°＝π180rad,1rad＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r.面积公式：S＝12l·r＝12α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.[四基自测]1．(教材改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.9π10D.10π9答案：D2．(教材改编)若角θ满足tanθ＞0，sinθ＜0，则角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．(教材改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)答案：C4．(教材精编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π35．已知角α的终边过点(－4,3)，则cosα＋sinα＝________.答案：－15考点一终边相同的角及象限角◄考基础——练透[例1](1)已知sinα＞0，cosα＜0，则12α所在的象限是()A．第一象限B．第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限解析：因为sinα＞0，cosα＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，则π4＋kπ＜12α＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，12α为第一象限角；当k为奇数时，12α为第三象限角，故选C.答案：C(2)(2019·福州模拟)与－2010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2010°终边相同，故与－2010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[拓展]求θn或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．1．设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ＜θ＜3π2＋2kπ(k∈Z)，故π2＋kπ＜θ2＜3π4＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，π2＋2nπ＜θ2＜3π4＋2nπ(n∈Z)，θ2是第二象限角，当k＝2n＋1时，3π2＋2nπ＜θ2＜7π4＋2nπ(n∈Z)，θ2是第四象限角，又cosθ2＝－cosθ2，即cosθ2＜0，因此θ2是第二象限角．答案：B2．集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，n∈Z，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样，当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4＜α＜π＋π2的终边一样．答案：C考点二扇形弧长、面积公式的应用◄考基础——练透[例2](1)(2019·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为()A．120平方步B．240平方步C．360平方步D．480平方步解析：由题意可得：S＝12×8×30＝120(平方步)．答案：A(2)(2019·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1解析：如图：∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin1，即r＝1sin1，从而弧AB的长为l＝α·r＝2sin1.答案：C应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1．(2019·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为2R，因此该圆心角的弧度数是α＝lR＝2RR＝2.答案：22．已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．解析：(1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9，所以S扇形＝12l·r＝12αr2＝12×5π9×4＝109π.(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S扇＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25，此时α＝lr＝2.考点三三角函数的定义◄考能力——知法角度1用三角函数的定义求值[例3](1)(2019·大同模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则x的值为________．解析：∵cosα＝－x－x2＋－62＝－xx2＋36＝－513，∴x0，x2x2＋36＝25169，解得x＝52.答案：52(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3cosα的值为________．解析：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋－3k2＝10|k|.当k＞0时，r＝10k，∴sinα＝－3k10k＝－310，1cosα＝10kk＝10，∴10sinα＋3cosα＝－310＋310＝0；当k＜0时，r＝－10k，∴sinα＝－3k－10k＝310，1cosα＝－10kk＝－10，∴10sinα＋3cosα＝310－310＝0.答案：0已知角α的终边求三角函数值，其关键点为：(1)已知角α终边上点P的坐标①求P到原点的距离．②利用三角函数定义求解．(2)已知角α终边所在的直线方程①根据象限位置，设出α的终边上点P的坐标．②利用三角函数定义求解．角度2三角函数值符号的判断[例4](1)(2019·怀化模拟)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在解析：∵π223π432π.∴sin20，cos30，tan40.∴sin2·cos3·tan40.答案：A(2)已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题意可得cosα0，tanα0，则sinα0，cosα0，所以角α的终边在第二象限，故选B.答案：B判断三角函数值符号的关键点(1)确定α的终边所在的象限位置．(2)根据α终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．角度3利用三角函数线比较大小，解不等式[例5](1)(2019·石家庄模拟)若－3π4α－π2，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是()A．sinαtanαcosαB．cosαsinαtanαC．sinαcosαtanαD．tanαsinαcosα解析：如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，ATOMMP，故有sinαcosαtanα.答案：C(2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中AB，CD，EF，GH是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是()A.ABB.CDC.EFD.GH解析：由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在AB上，tanα＞sinα，不满足；在CD上，tanα＞sinα，不满足；在EF上，sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且cosα＞tanα，满足；在GH上，tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，不满足．答案：C利用函数线解决三角不等式，比较三角函数值，其关键是正确作出三角函数线：(1)找出角α的终边与单位圆的交点P.(2)作x轴的垂线，过单位圆与x轴的上半轴的交点作圆的切线．(3)找出所用的三角函数线．(注意方向)1．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则tan2θ＝()A．2B．－4C．－34D．－43解析：设P(a,2a)是角θ终边上任意一点(a≠0)，由任意角三角函数定义知tanθ＝yx＝2aa＝2，故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－43.答案：D2．若cosα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由cosα0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tanα0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．答案：D3．y＝sinx－32的定义域为________．解析：∵sinx≥32，作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即