2020届高考数学理一轮复习讲义98曲线与方程

§9.8曲线与方程最新考纲考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质．3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件吗？提示是．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，则曲线C上的点的坐标满足f(x，y)＝0，以f(x，y)＝0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．2．方程y＝x与x＝y2表示同一曲线吗？提示不是同一曲线．3．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹是什么图形？提示依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．4．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)(3)y＝kx与x＝1ky表示同一直线．(×)(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(×)题组二教材改编2．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线答案D解析由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．3．曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______．答案2解析在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.4．若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为__________．答案x＋y－1＝0解析设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM，∵l1⊥l2.∴|PM|＝|OM|，而|PM|＝x－12＋y－12，|OM|＝x2＋y2.∴x－12＋y－12＝x2＋y2，化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程．题组三易错自纠5．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0或x－3－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．6．已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支答案C解析由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线．7．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．答案x2＋y2＝4(x≠±2)解析连接OP，则|OP|＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．题型一定义法求轨迹方程例1已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．解由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝42＝|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．跟踪训练1在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为______________．答案x22－y22＝1(x2)解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|－|AC|＝224，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，所以b＝2，所以轨迹方程为x22－y22＝1(x2)．题型二直接法求轨迹方程例2(2016·全国Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．(1)证明由题意知，F12，0，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝b－0－12－12＝k2.所以AR∥FQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1或x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·BM→＝－2，求点M的轨迹方程．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c2＋b2＝2c，整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍去)或ca＝12，所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c，代入直线方程得x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B(0，－3c)．设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝x－85c，y－335c，BM→＝(x，y＋3c)．由y＝3(x－c)，得c＝x－33y.于是AM→＝8315y－35x，85y－335x，BM→＝(x，3x)，由AM→·BM→＝－2，即8315y－35x·x＋85y－335x·3x＝－2.化简得18x2－163xy－15＝0.将y＝18x2－15163x代入c＝x－33y，得c＝10x2＋516x0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x0)．题型三相关点法求轨迹方程例3如图所示，抛物线E：y2＝2px(p0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程．解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.(2)由(1)知抛物线E：y2＝2x.设Cy212，y1，Dy222，y2，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝kx－y212，代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－ky21＝0，由Δ＝0，解得k＝1y1，∴l1的方程为y＝1y1x＋y12，同理l2的方程为y＝1y2x＋y22.联立y＝1y1x＋y12，y＝1y2x＋y22，解得x＝y1·y22，y＝y1＋y22.易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x20＋y20＝8，x0∈[2,22]，由y2＝2x，x0x＋y0y＝8，得x0y2＋2y0y－16＝0，则y1＋y2＝－2y0x0，y1·y2＝－16x0，代入x＝y1·y22，y＝y1＋y22，可得M(x，y)满足x＝－8x0，y＝－y0x0，可得x0＝－8x，y0＝8yx，代入x20＋y20＝8，并化简，得x28－y2＝1，考虑到x0∈[2,22]，知x∈[－4，－22]，∴动点M的轨迹方程为x28－y2＝1，x∈[－4，－22]．思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝fx，y，y1＝gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．(4)检验：注意检验方程是否符合题意．跟踪训练3(2018·包头调研)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1t3与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解由椭圆C2：x29＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)．设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②相乘得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x－3，y0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x－3，y0)．1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对答案C解析由(x－y)2＋(xy－1)2＝0，得x－y＝0，xy－1＝0.解得x